Processus gaussien

En théorie des probabilités et en statistiques, un processus gaussien est un processus stochastique (une collection de variables aléatoires avec un index temporel ou spatial) de telle sorte que chaque collection finie de ces variables aléatoires suit une loi normale multidimensionnelle ; c'est-à-dire que chaque combinaison linéaire est normalement distribuée. La distribution d'un processus gaussien est la loi jointe de toutes ces variables aléatoires. Ses réalisations sont donc des fonctions avec un domaine continu.

Un processus stochastique X sur un ensemble fini de sites S est dit gaussien si, pour toute partie finie A⊂S et toute suite réelle (a) sur A, ∑_s∈A a_s X(s) est une variable gaussienne.

Posant m_A et Σ_A la moyenne et la covariance de X sur A, si Σ_A est inversible, alors X_A = (X_s,s∈A) admet pour densité (ou vraisemblance) par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^card(A) : ${\displaystyle f_{A}\left(x_{A}\right)=\left(2\operatorname {\pi } \right)^{-{\frac {\operatorname {card} \left(A\right)}{2}}}\left(\operatorname {det} \Sigma _{A}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\operatorname {exp} \left(-{\frac {1}{2}}\left(x_{A}-m_{A}\right)^{\operatorname {T} }{\Sigma _{A}}^{-1}\left(x_{A}-m_{A}\right)\right)}$