Propriété (T) de Kazhdan

Soient G un groupe topologique, 𝓗 un espace de Hilbert, ${\displaystyle {\mathcal {U}}({\mathcal {H}})}$ le groupe de tous les opérateurs unitaires de 𝓗 dans lui-même, et π : G ⟶ 𝓤(𝓗) un morphisme de groupes. Si toutes les applications de G dans 𝓗, définies par ${\displaystyle g\longmapsto \pi (g)\xi }$ pour ${\displaystyle \xi \in }$ 𝓗 fixé, sont continues, ${\displaystyle \pi }$ est appelé une représentation unitaire (en) de G.

Pour ε > 0 et Q une partie compacte de G, un vecteur unitaire ξ est π est dit (ε, Q)-invariant si pour tout g ∈ Q, ‖π(g)ξ - ξ‖ ⩽ ε. On dit que π possède presque des vecteurs invariants s’il existe un vecteur unitaire (ε, Q)-invariant par π pour toute paire ε > 0, Q compact.

Si G est localement compact, il est dit avoir la propriété (T) si toute représentation unitaire de G possédant presque des vecteurs invariants laisse stable un vecteur non nul.

La propriété (T) est liée à la moyennabilité par le théorème suivant :

Dans ce sens, la propriété (T) peut être vue comme opposé à la moyennabilité. Par exemple, comme tous les groupes abéliens sont moyennables, les groupes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ et ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$, qui ne sont pas compacts, ne peuvent pas avoir la propriété (T).

• Pierre de la Harpe et Alain Valette, « la propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement compacts », Astérisque, Société mathématique de France, vol. 175,‎ 1989 (ISSN 0303-1179)

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