Propriété N de Luzin
En analyse mathématique, une fonction réelle F possède la propriété N de Luzin (du nom de Nikolaï Louzine) si l'image par F de tout ensemble Lebesgue-négligeable est Lebesgue-négligeable.
Propriétés
- (Théorème de Banach-Zaretskii[1]) Une fonction définie sur un intervalle [a, b] est absolument continue si (et seulement si) elle est continue, à variation bornée et possède la propriété N.
- Toute fonction dérivable a la propriété N[2]. Il suffit même qu'elle soit dérivable sur un ensemble codénombrable, puisque tout ensemble dénombrable est Lebesgue-négligeable. En revanche, il ne suffit pas qu'elle soit dérivable presque partout (cf. point suivant).
- Si F est non constante sur [a, b] et de dérivée nulle presque partout (par exemple si F est l'escalier de Cantor) alors F n'a pas la propriété N.
Notes et références
- (en) « Luzin-N-property », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
- (en) Liviu C. Florescu, Lebesgue Integral, Springer Nature, (lire en ligne), p. 174.
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