Pyramide de 11

Montrer que 1816474 est un multiple de 11

On envisage de poser 1816474 et on recherche les soustractions possibles à ce nombre.

La première soustraction (en partant de la droite) est évidente car c'est 4-0=4.

Pour 7, il fallait au préalable que le deuxième chiffre du précédent nombre soit un 3 car 7-4=3 On ne peut pas avoir 14 car ce nombre est composé de 2 chiffres

Ensuite, par déduction, le troisième chiffre du précédent nombre est 1 car 4-3=1

Ainsi de suite :

• 6-1=5
• 11-5=6 (on ne peut pas faire 1-5 car sinon le résultat appartiendrait à ${\displaystyle \mathbb {Z} }$)
• 8-6-1=2-1=1

On obtient donc

On peut en déduire que : ${\displaystyle 1816474=165134\times 11}$

Montrer que 18225 n’est pas divisible par 11

Pour montrer que 18225 n’est pas divisible par 11, il faut montrer que la réciproque de la pyramide de 11 ne marche pas. C’est-à-dire qu’une addition du résultat de la réciproque ne fonctionne pas pour donner le dernier chiffre.

Premièrement, pour avoir le premier chiffre du résultat de la réciproque, il faut tout simplement faire 5-0=5. Ensuite, le deuxième chiffre s’obtient en faisant 12-5 (et non 2-5 car le résultat est un chiffre négatif). On obtient 7 et on retient 1.

Les soustractions suivantes sont :

• ${\displaystyle 12-1-7=4}$
• ${\displaystyle 8-1-4=3}$

Le résultat de la réciproque serait 3475 mais ${\displaystyle 3+0\neq 1}$ donc la réciproque ne fonctionne pas et donc on peut en déduire que 18225 n’est pas divisible par 11.

C'est une autre méthode pour trouver les chiffres qui composent le résultat de la réciproque. Par exemple, prenons le nombre 37250615421. On veut savoir s'il est divisible par 11. On appelle ${\displaystyle R_{n}}$ les chiffres qui composent le premier nombre et ${\displaystyle T_{n}}$ le résultat de la réciproque.

On organise le résultat de la réciproque par un tableau regroupant les opérations à faire :

	${\displaystyle R}$	${\displaystyle T_{1}}$	Ret.	${\displaystyle T_{2}}$
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5	3	0	2
5	11	2	0	9
6	16	9	1	6
7	10	6	1	3
8	5	3	1	1
9	2	1	0	1
10	7	1	0	6
11	6	0	0	6

Comme ${\displaystyle 6+0\neq 3}$, le nombre n’est pas divisible par 11

Tout d'abord, on compte le nombre de chiffres qu'il y a dans le nombre où on cherche la divisibilté par 11. Il y aura autant de lignes dans le tableau que de chiffres. Dans la ligne d'en tête, on retrouve quatre colonnes : R (le chiffre du nombre de la première ligne), ${\displaystyle T_{1}}$, le premier chiffre en partant de la droite ; Ret. où on met les retenues et ${\displaystyle T_{2}}$, le deuxième chiffre en partant de la droite calculé.

Pour trouver ${\displaystyle T_{2}}$, il faut faire la soustraction ${\displaystyle R-T_{2}}$. À la première ligne, ${\displaystyle T_{1}}$ est toujours égal à 0. On peut aussi remarquer que ${\displaystyle T_{2}}$ de la première ligne est toujours égal à ${\displaystyle T_{1}}$. En numérotant les lignes, on s'y retrouve plus facilement. R est déterminé par le nième chiffre qu'on veut calculer.

Si R est inférieur à ${\displaystyle T_{1}}$, il faut ajouter 10 à R mais à la ligne suivante, il faudra retrancher un 1 au résultat final.

Soit deux nombres qui s’écrivent :

${\displaystyle N_{1}={\overline {q_{n}r_{n-1}r_{n-2}\ldots r_{1}r_{0}}}^{10}}$ ou ${\displaystyle N_{1}=q_{n}\times 10^{n}+r_{n-1}\times 10^{n-1}+r_{n-2}\times 10^{n-2}\ldots r_{1}\times 10+r_{0}}$

${\displaystyle N_{2}={\overline {s_{n-1}t_{n-2}t_{n-3}\ldots t_{1}t_{0}}}^{10}}$ ou ${\displaystyle N_{2}=s_{n}\times 10^{n}+t_{n-1}\times 10^{n-1}+t_{n-2}\times 10^{n-2}\ldots t_{1}\times 10+t_{0}}$

On veut montrer la divisibilité par 11 de ce nombre en appliquant la réciproque de la pyramide de 11. Pour cela, il faut montrer qu’un deuxième nombre (${\displaystyle N_{2}}$) existe tel que :

• ${\displaystyle t_{0}=r_{0}-0}$
• ${\displaystyle t_{1}=r_{1}-t_{0}}$
• ${\displaystyle t_{2}=r_{2}-t_{1}}$

ou plus généralement ${\displaystyle r_{n}=r_{n-1}-t_{n-1}}$.

On a la construction suivante :

${\displaystyle {\overline {q_{n}r_{n-1}r_{n-2}\ldots r_{1}r_{0}}}}$

${\displaystyle {\overline {xxx\ldots t_{2}t_{1}t_{0}}}}$

Si ${\displaystyle r_{n}\neq r_{n-1}-t_{n-1}}$, on peut ajouter 10 à ${\displaystyle r_{n-1}}$. Mais pour faire cela, il faut avoir cette soustraction ${\displaystyle r_{n+1}=r_{n}-1-t_{n}}$

Pour 5^n en base 4:

5^n	pyramide de 11	pyramide de 5
${\displaystyle 5^{0}}$	1	1
${\displaystyle 5^{1}}$	11	5
${\displaystyle 5^{2}}$	121	25
${\displaystyle 5^{3}}$	1331	125

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