Réseau (sous-groupe discret)

Un théorème d'Armand Borel affirme que tout groupe de Lie semi-simple contient des réseaux uniformes et non-uniformes. La construction repose sur les groupes arithmétiques, qui sont construits de la manière suivante. Tout groupe de Lie réel ${\displaystyle G}$ peut s'écrire comme l'ensemble des points réels d'un groupe algébrique ${\displaystyle \mathrm {G} }$ défini sur ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. L'idée de la construction est que le sous-groupe ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Z} )}$ est un réseau dans ${\displaystyle G}$. La définition exacte plus technique :

Un théorème difficile dû à Borel et Harish-Chandra[3]^,[4] affirme que si ${\displaystyle G}$ est semisimple alors un tel sous-groupe ${\displaystyle \Gamma }$ est toujours un réseau. La preuve du théorème de Borel consiste alors en la construction de sous-groupes arithmétiques dans tous les groupes réels.

En pratique on utilise la restriction des scalaires de Weil pour construire des groupes arithmétiques.

Dans certains groupes de Lie on peut construire d'autres réseaux que les sous-groupes arithmétiques. Un cas flagrant est ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ou les réseaux admettent des espaces de déformations (voir Espace de Teichmüller). Le groupe ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ contient des réseaux non-arithmétiques obtenus à partir du théorème de chirurgie de Dehn hyperbolique de William Thurston. Des constructions existent aussi pour les groupes orthogonaux ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\,n\geq 4}$[5] et pour les groupes unitaires ${\displaystyle \mathrm {SU} (2,1),\,\mathrm {SU} (3,1)}$[6].

Un théorème spectaculaire dû à Grigori Margulis (amélioré plus tard par Kevin Corlette et Gromov--Schoen) affirme que dans tout groupe de Lie simple ${\displaystyle G}$ qui n'est pas isogène à l'un des groupes ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1),\,\mathrm {SU} (n,1),\,n\geq 2}$ tout réseau est en fait arithmétique[7].

Si ${\displaystyle F}$ est un corps local et ${\displaystyle \mathrm {G} }$ un ${\displaystyle F}$-groupe algébrique semisimple on peut construire des réseaux de ${\displaystyle \mathrm {G} (F)}$ en utilisant les groupes ${\displaystyle S}$-arithmétiques. Le théorème d'arithméticité de Margulis est aussi valide dans ce cadre.

Si ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est un arbre régulier alors le groupe des automorphismes ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathcal {T}})}$ est un groupe localement compact (pour la topologie ouverte-fermée) contenant de nombreux réseaux.

On peut aussi étudier des sous-groupes fermés cocompacts de ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathcal {T}})}$. Ces derniers contiennent des réseaux s'ils sont unimodulaires et cocompacts[8].

Un réseau d'un groupe localement compact ${\displaystyle G}$ a la propriété ${\displaystyle (T)}$ si et seulement si le groupe ${\displaystyle G}$ l'a lui-même. Comme les groupes de Lie simples de rang supérieur ont la propriété ${\displaystyle (T)}$ leurs réseaux donnent des exemples de groupes discrets ayant cette propriété.

Une application de ces résultats est la construction de graphes expanseurs via les graphes de Cayley de leurs quotients finis[9].

Le théorème de rigidité de Mostow-Prasad affirme que tout isomorphisme entre réseaux de groupes de Lie (à l'exception de ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ provient d'un isomorphisme entre les groupes de Lie eux-mêmes (ce théorème a été démontré par George Mostow pour des réseaux uniformes et étendu au cas général par Gopal Prasad)[10].

Le théorème de superrigidité de Margulis[7] étend cet énoncé au cas des morphismes (pas forcément injectifs) d'un réseau d'un groupe de Lie simple vers un autre groupe de Lie dont l'image n'est pas forcément un réseau (il suffit qu'elle soit de fermeture de Zariski semisimple, et non-bornée), dans le cas où le rang du groupe source est plus grand que 2. C'est un élément essentiel de la preuve du théorème d'arithméticité.