Réseau de Leech

Le réseau de Leech est un réseau remarquable dans l'espace euclidien de dimension 24. Il est relié au code de Golay.

Historique

Ernst Witt le découvre en 1940 mais ne publie pas cette découverte qui sera finalement attribuée à John Leech en 1965.

Caractéristiques

Le réseau de Leech est caractérisé comme étant le seul réseau unimodulaire (en) pair en dimension 24 qui ne contient pas de racines, c'est-à-dire de vecteur v tel que (v,v)=2. Il a été construit par John Leech.

Le groupe des automorphismes du réseau de Leech est le groupe de Conway Co0.

Il y a exactement 24 réseaux unimodulaires pairs en dimension 24 (en). Ils ont été classifiés par Niemeier (en) en 1973.

Un gros trou est un point dans ℝ24 à distance maximale de tous les points du réseau de Leech. Conway, Parker et Sloane ont montré[1] qu'il y a exactement 23 types de gros trous, avec une correspondance précise entre les gros trous et les réseaux de Niemeier.

Une des méthodes pour construire ce réseau consiste à faire intervenir un code (24,12,8) particulier (c'est-à-dire un codage permettant de transmettre 12 bits de données dans un message de longueur 24 bits, tel que deux codes valides quelconques diffèrent en au moins 8 emplacements).

Référence
  1. (en) J. H. Conway, R. A. Parker et N. J. A. Sloane, « The covering radius of the Leech lattice », Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, vol. 380, no 1779,‎ , p. 261–290 (DOI 10.1098/rspa.1982.0042).
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