Impédance acoustique

L'étude de la propagation des ondes à l'interface de deux milieux acoustiques peut se faire en première approximation sous les hypothèses de l'acoustique linéaire non dispersive, et en se restreignant aux ondes d'incidence normale à l'interface. Dans ce cas, la thermodynamique fournit une relation constitutive linéaire entre les efforts et la déformation :

${\displaystyle p(x,t)=-\rho _{\mathrm {m} }\,c^{2}\,{\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)}$

dans laquelle x est la variable d'espace suivant la direction normale à l'interface, p(x, t) est la pression acoustique dans le milieu, u(x, t) est le champ des déplacements, ρ_m est la masse volumique du milieu, et c est la vitesse de l'onde acoustique dans le milieu.

Cette équation est valable aussi bien pour :

• un liquide, auquel cas ρ c² = B est son module de compressibilité ;
• un gaz, auquel cas ρ c² = γ p₀, γ étant le rapport des chaleurs spécifiques et p₀ la pression moyenne. En acoustique linéaire, la pression acoustique p est une perturbation de cette pression moyenne ;
• un solide dont on ne considère qu'une direction privilégiée pour la propagation des ondes, par exemple une barre en traction-compression, ρ c² = E étant le module d'Young, une corde vibrante, ρ c² = T / S étant le rapport de la tension T de la corde sur sa section S, ou une barre en torsion, ρ c² = G étant le module de Coulomb ou module de cisaillement de la barre. De plus, la pression acoustique p doit être remplacée par la contrainte σ suivant la direction de propagation de l'onde.

Pour plus de précisions, voir la définition de la vitesse du son dans les différents milieux pré-cités.

Le principe fondamental de la dynamique appliqué localement au milieu et dans la direction normale à l'interface s'écrit :

${\displaystyle \rho _{\mathrm {m} }{\frac {\partial v}{\partial t}}(x,t)=-{\frac {\partial p}{\partial x}}(x,t)}$

En remarquant que ${\displaystyle v={\frac {\partial u}{\partial t}}}$, on peut combiner cette équation avec la loi constitutive de l'acoustique linéaire pour obtenir l'équation des ondes, aussi appelée équation de D'Alembert, qui est vérifiée simultanément par la vitesse et la pression acoustique :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}\,{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}\,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}(x,t)}$

La vitesse v étant solution de l'équation des ondes, on peut rechercher une solution de propagation sous la forme de la somme d'une onde directe f et d'une onde rétrograde g :

${\displaystyle v(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

En dérivant cette dernière équation, il vient :

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}(x,t)=f^{\prime }(x-c\,t)+g^{\prime }(x+c\,t)}$

De même, en dérivant la loi constitutive :

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}(x,t)=-\rho _{\mathrm {m} }\,c^{2}\,{\frac {\partial v}{\partial x}}(x,t)=-\rho _{\mathrm {m} }\,c^{2}\,(f^{\prime }(x-c\,t)+g^{\prime }(x+c\,t))}$

Sachant que la pression acoustique s'écrit elle aussi sous la forme d'une solution de propagation, il est possible de l'identifier à l'expression ci-dessus, en introduisant l'impédance acoustique caractéristique Z_ac = ρ_m c :

${\displaystyle p(x,t)=Z_{\mathrm {ac} }(f(x-ct)-g(x+ct))}$

Si l'on choisit l'origine x = 0 à l'interface entre les deux milieux M₁ = {x < 0}, d'impédance acoustique Z₁, et M₂ = {x > 0}, d'impédance acoustique Z₂, on peut définir les restrictions suivantes :

• f₁ la restriction de la fonction d'onde directe sur M₁ ;
• g₁ la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur M₁ ;
• f₂ la restriction de la fonction d'onde directe sur M₂ ;
• g₂ la restriction de la fonction d'onde rétrograde sur M₂.

En x = 0, la condition de continuité des vitesses et des pressions s'écrit :

${\displaystyle f_{1}(-ct)+g_{1}(ct)=f_{2}(-ct)+g_{2}(ct)}$

${\displaystyle Z_{1}(f_{1}(-ct)-g_{1}(ct))=Z_{2}(f_{2}(-ct)-g_{2}(ct))}$

Si l'on se donne l'onde directe venant de la gauche f₁ et l'onde rétrograde venant de la droite g₂, on peut en déduire les ondes transmises f₂ et réfléchies g₁ :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{2}\\g_{1}\end{pmatrix}}={\frac {1}{Z_{1}+Z_{2}}}\,{\begin{pmatrix}Z_{2}-Z_{1}&2\,Z_{1}\\2\,Z_{2}&Z_{1}-Z_{2}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}g_{2}\\f_{1}\end{pmatrix}}}$

Dans cette matrice, les éléments ont la signification physique suivante (concernant les vitesses particulaires, pour les pressions permuter Z₁ et Z₂) :

• ${\displaystyle t_{12}={\frac {2\,Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$ est le coefficient de transmission en amplitude des ondes depuis M₁ vers M₂ ;
• ${\displaystyle r={\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$ est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de M₁ sur l'interface ;
• ${\displaystyle -r={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$ est le coefficient de réflexion en amplitude des ondes venant de M₂ sur l'interface ;
• ${\displaystyle t_{21}={\frac {2\,Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}}$ est le coefficient de transmission en amplitude depuis M₂ vers M₁.

On observe évidemment que 1 + r = t₁₂.

Ces coefficients sont analogues à ceux donnés par les formules de Fresnel en électromagnétisme.

Trois cas particuliers peuvent être étudiés avec intérêt :

• le cas Z₂ / Z₁ = 0, alors r = 1, l'onde incidente se réfléchit à l'identique sur l'interface pour les déplacements et en changeant de signe pour les pressions;
• le cas Z₂ / Z₁ = 1, alors r = 0 et t₁₂ = 1, l'onde incidente se transmet complètement, l'impédance des deux milieux est dite adaptée ;
• le cas Z₂ / Z₁ = ${\displaystyle \infty }$, alors r = -1, l'onde incidente se réfléchit en changeant de signe pour les déplacements et à l'identique pour les pressions.

La densité de puissance d'une onde acoustique suivant une direction est donnée dans le cas général par :

${\displaystyle \Pi (x,t)=p(x,t)\,v(x,t)=Z\,(f^{2}(x-c\,t)-g^{2}(x+c\,t))}$

C'est une quantité homogène à une puissance par unité de surface (exprimée en W m⁻²), qui est souvent assimilée à l'intensité acoustique.

On peut calculer les coefficients de transmission et de réflexion énergétiques, par exemple en se plaçant dans le cas d'une unique onde directe incidente (f₁ ${\displaystyle \neq }$ 0 et g₂ = 0).

Le coefficient de réflexion énergétique exprime la quantité d'énergie contenue dans l'onde réfléchie g₁, étant donné une onde incidente directe f₁ :

${\displaystyle R={\frac {\Pi (x<0,t>0)}{\Pi (x<0,t<0)}}={\frac {Z_{1}\,g_{1}^{2}}{Z_{1}\,f_{1}^{2}}}=r^{2}=\left({\frac {Z_{1}-Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)^{2}}$

Le coefficient de transmission énergétique exprime la quantité d'énergie contenue dans l'onde transmise f₂, étant donnée une onde incidente directe f₁ :

${\displaystyle T={\frac {\Pi (x>0,t>0)}{\Pi (x<0,t<0)}}={\frac {Z_{2}\,f_{2}^{2}}{Z_{1}\,f_{1}^{2}}}={\frac {Z_{2}\,t_{12}^{2}}{Z_{1}}}={\frac {4\,Z_{1}\,Z_{2}}{(Z_{1}+Z_{2})^{2}}}}$

Étant données les deux définitions ci-dessus, on peut aisément vérifier la conservation de l'énergie :

${\displaystyle R+T=1}$

Les coefficients de réflexion et de transmission énergétiques sont souvent exprimés en décibel, en écrivant :

${\displaystyle R_{\mathrm {dB} }=10\log _{10}(R)}$

${\displaystyle T_{\mathrm {dB} }=10\log _{10}(T)}$

Si l'on considère l'interface entre l'eau, d'impédance acoustique Z₁ = 1,5 × 10⁶ Pa s/m, et l'air, d'impédance acoustique Z₂ = 430 Pa s/m, on trouve des coefficients de réflexion et transmission :

${\displaystyle R_{\mathrm {dB} }=-0.005\ \mathrm {dB} }$

${\displaystyle T_{\mathrm {dB} }=-30\ \mathrm {dB} }$

Les sons ne se transmettent quasiment pas d'un milieu à l'autre, comme cela peut être constaté en plongée sous-marine.

Valeurs de certaines impédances acoustique (utilisés pour l'échographie en médecine) :

milieu	${\displaystyle Z\left[\mathrm {kg \over m^{2}s} \right]}$
air	${\displaystyle 0.04\cdot 10^{4}}$
graisse	${\displaystyle 1.38\cdot 10^{6}}$
sang	${\displaystyle 1.62\cdot 10^{6}}$

• C. Lesueur, Rayonnement acoustique des structures, Eyrolles, Paris, 1988.

• Tube de Kundt

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