Racine d'un polynôme réel ou complexe

Cependant la démonstration du théorème de d'Alembert-Gauss par le théorème de Liouville n'apporte aucune information sur la position des racines complexes. Une seconde méthode est donnée par le théorème de Rouché :

Soient f et g deux fonctions holomorphes dans un contour fermé γ ne se recoupant pas et telles que ${\displaystyle |f(z)-g(z)|<|g(z)|}$ pour tout point z de γ. Alors, à l'intérieur de γ, f et g ont le même nombre de zéros (comptés avec leurs multiplicités).

On en déduit en particulier le théorème suivant[3], plus précis que le théorème de d'Alembert-Gauss :

Soit P un polynôme de degré n normalisé (le coefficient de zⁿ est 1) et A le plus grand module des autres coefficients de P. Alors P a exactement n racines (comptées avec leurs multiplicités) à l'intérieur du cercle de centre 0 et de rayon 1 + A.

Démonstration

La démonstration consiste à appliquer le théorème de Rouché à P et au polynôme zⁿ qui admet 0 comme racine de multiplicité n. Sur le cercle |z| = 1 + A, on a bien :

${\displaystyle \left|\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}z^{i}\right|\leq A\sum _{i=0}^{n-1}|z|^{i}=A{\frac {|z|^{n}-1}{|z|-1}}=|z|^{n}-1<|z|^{n}}$, d'où le résultat.

Corollaire :^{[réf. nécessaire]}

Soit P un polynôme de degré n s'écrivant

${\displaystyle P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\dots +a_{1}z+a_{0}}$

et soient les deux nombres

${\displaystyle A=\max(|a_{0}|,|a_{1}|,\ldots ,|a_{n-1}|),\quad B=\max(|a_{1}|,|a_{2}|,\dots ,|a_{n}|)}$.

Les racines de P sont dans la couronne

${\displaystyle {\frac {1}{1+B/|a_{0}|}}\leq |z|<1+{\frac {A}{|a_{n}|}}}$.

La relation entre les coefficients et les racines est très compliquée. Aussi faut-il s'attendre à obtenir des résultats intéressants avec des hypothèses plus fortes. C'est le cas du théorème suivant, dû à Kakeya et cas particulier d'un corollaire donné en 1893 par Eneström^{[réf. souhaitée]}.

Soit ${\displaystyle P(z)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}}$ un polynôme à coefficients réels tels que ${\displaystyle 0\leq a_{n}\leq a_{n-1}\leq a_{n-2}\leq \ldots \leq a_{0}}$. Alors les racines complexes sont en dehors du disque unité.

Voisin de l'estimation obtenue par le théorème de Rouché mais antérieur à ce dernier, ce théorème établit un lien entre le cas des polynômes à coefficients complexes et le cas des polynômes à coefficients réels.

Soit P un polynôme de degré n s'écrivant

${\displaystyle P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots +a_{1}z+a_{0}}$

et Q le polynôme associé s'écrivant

${\displaystyle Q(z)=|a_{n}|z^{n}-|a_{n-1}|z^{n-1}-\ldots -|a_{1}|z-|a_{0}|.}$

Soit r l'unique racine positive de l'équation Q(z) = 0. Alors toutes les racines de P sont de modules inférieurs ou égaux à r.

Ce théorème est lui-même une version complexe de l'estimation de Lagrange, un résultat qui sera donné dans le cas réel (voir infra).

Alors que le théorème de Cauchy ne donne qu'une majoration, le théorème suivant donne la minoration correspondante, tout en améliorant le résultat de Cauchy.

Considérant le théorème de Cauchy et utilisant un théorème de Grace (en), Cohn montra tout d'abord qu'au moins une des racines de P se trouvait de module supérieur à ${\displaystyle r({\sqrt[{n}]{2}}-1)}$. Ce résultat a été amélioré par Berwald (de)[4].

Dans les notations du théorème de Cauchy, soient ${\displaystyle z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}}$ les racines complexes de P. On a l'inégalité

${\displaystyle r({\sqrt[{n}]{2}}-1)\leq {\frac {|z_{1}|+|z_{2}|+\ldots +|z_{n}|}{n}}\leq r.}$

Si l'on connaît deux nombres réels a et b tels que ${\displaystyle a<b\;}$ et tels que ${\displaystyle P(a)=P(b)\,}$, alors il existe (au moins) une racine c dans ${\displaystyle ]a,b[\;}$ du polynôme dérivé P' :

${\displaystyle P'(c)=0.}$

Ce théorème est un théorème de séparation des racines de P et de P'. Entre deux racines de P se trouve toujours au moins une racine de P'.

Si P(a) et P(b) ne sont pas de même signe, il existe au moins une racine réelle c comprise entre a et b.

«  Soit P(x) un polynôme à coefficients réels tel que les k coefficients appartenant aux puissances les plus élevées soient positifs ou nuls et en appelant G le plus grand des coefficients négatifs en valeur absolue et ${\displaystyle a_{n}}$ le coefficient du terme de plus haut degré alors toutes les racines réelles, s'il en existe, sont inférieures ou égales à

${\displaystyle 1+{\sqrt[{k}]{\frac {G}{a_{n}}}}.}$ »

Démonstration

On considère un réel positif x.

P(x) est alors supérieur ou égal à ${\displaystyle a_{n}x^{n}-G(x^{n-k}+x^{n-k-1}+\ldots +1)=a_{n}x^{n}-G{\frac {x^{n-k-1}-1}{x-1}}}$ d'après la somme d'une série géométrique. En réduisant au même dénominateur, on a ${\displaystyle P(x)\geq {\frac {x^{n-k+1}[a_{n}(x^{k}-x^{k-1})-G]+G}{x-1}}.}$ Or, si x > 1, alors ${\displaystyle (x^{k}-x^{k-1})>(x-1)^{k}}$ donc si ${\displaystyle x>1+{\sqrt[{k}]{\frac {G}{a_{n}}}},}$ on a ${\displaystyle a_{n}(x^{k}-x^{k-1})>G}$ et par conséquent P(x) > 0. Donc, si elle existe, une racine de l'équation est nécessairement inférieure à ${\displaystyle 1+{\sqrt[{k}]{\frac {G}{a_{n}}}}.}$

Cette règle permet de trouver très facilement une limite inférieure pour les racines négatives en appliquant la règle à P(–x), sous réserve qu'il y en ait.

En appliquant la règle au numérateur de P(1/x) après réduction au même dénominateur, de trouver une estimation de la plus petite racine positive si elle existe.

Remarque : le théorème de Cauchy n'est rien d'autre que l'adaptation au cas complexe de l'estimation de Lagrange.

Exemple :

Soit ${\displaystyle P(x)=x^{6}+3x^{5}-2x^{3}+x+2}$. On cherche à encadrer les racines positives et négatives.

L'application de la majoration de Lagrange donne ${\displaystyle a_{n}=1}$ et G = 2. D'autre part, k = 3. Donc les racines positives sont inférieures à ${\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{2}}}$. Calculons P(1/x). On trouve que le numérateur est ${\displaystyle 2x^{6}+x^{5}-2x^{3}+3x+1}$ donc ${\displaystyle a_{n}=2}$, G = 2 et k = 3. La plus petite racine positive, s'il en existe, est donc supérieure à ${\displaystyle {\frac {1}{1+{\sqrt[{3}]{1}}}}={\frac {1}{2}}}$.

Estimons de même les racines négatives : ${\displaystyle P(-x)=x^{6}-3x^{5}+2x^{3}-x+2}$ donc ${\displaystyle a_{n}=1}$, G = 3 et k = 1. On a donc que les racines négatives sont toutes supérieures à –1 – 3 = –4.

${\displaystyle P(-1/x)={\frac {2x^{6}-x^{5}+2x^{3}-3x+1}{x^{6}}}}$ donc ${\displaystyle a_{n}=2}$, G = 3 et k = 1. Les éventuelles racines négatives sont inférieures à –1/(1+3/2) = –2/5.

Un calcul numérique donne deux racines, valant approximativement –2,7 et –1,2 et il n'y a pas de racine positive.

Cette règle a été donnée par René Descartes dans le livre III de son œuvre La Géométrie (1637). Son objet est de déterminer le nombre de racines positives et négatives d'un polynôme à coefficients réels.

Descartes s'exprime ainsi, où les « vraies » racines sont les positives, tandis que les « fausses » racines sont les négatives[5] :

« On connoît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et combien de fausses en chaque équation : à savoir il y en peut avoir autant de vraies que les signes + et - s'y trouvent de fois être changés, et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes - qui s'entre-suivent. »

On suppose que le polynôme à une variable et à coefficients réels est ordonné par ordre décroissant des exposants.

Alors le nombre des racines positives du polynôme est égal au nombre de changements de signes entre deux coefficients non nuls diminué éventuellement d'un multiple de 2 (pour tenir compte des racines complexes conjuguées qui ne sont pas décomptées), chaque racine positive étant comptée selon sa multiplicité.

En changeant la variable x en (-x), la règle permet de trouver le nombre des racines négatives, à un multiple de 2 près, puisque l'on a permuté les racines positives et négatives par la transformation.

Clairement, si le polynôme n'admet que des racines réelles, la règle de Descartes donne alors le nombre exact de racines positives.

De la même manière, on peut, par la règle de Descartes, déterminer combien de racines réelles sont supérieures à une valeur donnée c, par le changement de variable x transformé en x-c dans le polynôme.

• Le polynôme ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1}$, admet un seul changement de signes, entre le deuxième et le troisième terme. La règle de Descartes affirme donc qu'il possède exactement une racine positive.

Si l'on transforme x en -x, on a ${\displaystyle -x^{3}+x^{2}+x-1}$, qui donne deux changements de signes. Donc il y a 2 ou 0 racines négatives.

• Le polynôme ${\displaystyle 5x^{5}-7x^{4}+x^{3}-x+2}$, admet quatre changements de signes. Donc le polynôme peut avoir zéro, deux ou quatre racines positives.

• Combien le polynôme ${\displaystyle x^{3}+x^{2}-x-1}$, a-t-il de racines réelles supérieures à ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ? On développe ${\displaystyle (x-{\tfrac {1}{2}})^{3}+(x-{\tfrac {1}{2}})^{2}-(x-{\tfrac {1}{2}})-1\,}$ et on trouve ${\displaystyle x^{3}-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{4}}x-{\tfrac {3}{8}}}$, qui n'a qu'un seul changement de signe. Il n'y a donc qu'une seule racine réelle supérieure à ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

On considère ici non seulement les polynômes à coefficients réels mais également des expressions ressemblant à des polynômes avec des exposants réels quelconques.

Dans un article paru en 1883[6], Edmond Laguerre donne une démonstration de la règle de Descartes à partir du théorème de Rolle et cette démonstration lui permet de conclure que la règle des signes de Descartes s'applique même si les exposants ne sont pas entiers et sont des réels quelconques, ce qui constitue une première généralisation de la règle de Descartes.

Puis, dans le même article (p. 106), Laguerre essaie d'obtenir de la règle de Descartes une majoration :

Théorème de Laguerre : Étant donné le « polynôme » ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{\alpha _{n}}}$ ordonné suivant les puissances croissantes de x, les exposants pouvant être quelconques mais réels.

Le nombre des racines positives de l'équation ${\displaystyle f(x)=0}$ qui sont inférieures à une quantité A est majoré par le nombre des alternances de la « suite » ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}A^{\alpha _{n}}}$. Et si ces deux nombres diffèrent, leur différence est un nombre pair.

Cette proposition subsiste lorsque le nombre de termes est limité, pourvu que la série composée de ces termes soit convergente pour x = A.

Un cas particulier intéressant est obtenu en prenant A = 1.

• Soit ${\displaystyle f(x)=x^{3}-x^{2}+x^{1/3}+x^{1/7}-1}$. Combien y a-t-il de racines positives ? Il y a trois alternances de signes (+- ; -+; +-) donc au plus 3 racines réelles positives.
• Soit ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}}}+2/x^{\sqrt {2}}-5/x+2-3x-8x^{3}}$. Combien y a-t-il de racines positives inférieures à 2 ? La suite se calcule ainsi:

${\displaystyle 1/2^{2};1/2^{2}+2/2^{\sqrt {2}};1/2^{2}+2/2^{\sqrt {2}}-5/2;1/2^{2}+2/2^{\sqrt {2}}-5/2+2;1/2^{2}+2/2^{\sqrt {2}}-5/2+2-3\times 2;1/2^{2}+2/2^{\sqrt {2}}-5/2+2-3\times 2-8\times 2^{3}}$

soit numériquement ${\displaystyle 0{,}25~;~1{,}0004~;~-1{,}4995~;~0{,}5004~;~-5{,}4995~;~-69{,}4995.}$

Il y a donc trois alternances (+-; -+; +-) donc trois racines positives au plus. Soit une ou trois racines positives. On vérifie graphiquement qu'il y en a une seule vers 0.4473661675.

• Conditionnement (analyse numérique)
• Polynôme de Wilkinson (en)

1. Fantet de Lagny & Richer du Bouchet, Analyse générale, ou Méthodes nouvelles pour résoudre les problèmes de tous les genres & de tous les degrez à l'infini ,1733
2. Newton, Arithmetica universalis : sive De compositione et resolutione arithmetica, T2, 1761
3. Newton, Arithmetica universalis : sive De compositione et resolutione arithmetica, T1, 1761
4. Bézout, Théorie générale des équations algébriques, 1779
5. Bernoulli & Euler & Hewlett & Lagrange, Elements of algebra, 1822
6. Hirsh & Ross, Hirsch's collection of examples, formulae, & calculations, on the literal calculus and algebra, 1827
7. Young, On the theory and solution of algebraical equations, 1835
8. Stevenson, A treatise on the nature and properties of algebraic equations, 1835
9. Murphy, A treatise on the theory of algebraical equations, 1839
10. Young, Researches respecting the imaginary roots of numerical equations: being a continuation of Newton's investigations on that subject, and forming an appendix to the "Theory and solution of equations of the higher orders.", 1844
11. Hymers, A Treatise on the Theory of Algebraical Equations, 1858
12. Jerrard, An essay on the resolution of equations, 1859
13. Hargreave & Salmon, An essay on the resolution of algebraic equations, 1866
14. MacNie, A treatise on the theory and solution of algebraical equations, 1876
15. Matthiessen, Grundzüge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen, 1878
16. Welcker, Advanced algebra, 1880
17. Todhunter, An Elementary Treatise on the Theory of Equations, 1880
18. Burnside & Panton, The theory of equations, with an introduction to the theory of binary algebraic forms V2, 1881
19. Burnside & Panton, The theory of equations, with an introduction to the theory of binary algebraic forms V1, 1899
20. Beebe & Philips, Graphic Algebra: Or, Geometrical Interpretation of the Theory of Equations, 1882
21. Byerly, Syllabus of a course in the theory of equations, 1883
22. Serret, Cours d'algèbre supérieure, 1885
23. Gauss, Die vier Gauss'schen Beweise für die Zerlegung ganzer algebraischer Functionen in reele Factoren erssten oder zweiten Grades, 1890
24. Chapman, An elementary course in theory of equations, 1892
25. Netto, The theory of substitutions and its applications to algebra, 1892
26. Petersen, Théorie des équations algébriques, 1897
27. Barton,An Elementary Treatise on the Theory of Equations, 1899
28. Dickson, Introduction to the Theory of Algebraic Equations, 1903
29. Cajori, An introduction to the modern theory of equations, 1904
30. Mathews, algebraic equations, 1907
31. Dickson, Elementary theory of equations,1914
32. Burnside & Panton, The Theory Of Equations, Vol 1, 1924
33. Turnbull, theory of equations, 1947

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