Odds ratio

L'odds ratio se définit comme le rapport de la cote d'un événement arrivant à un groupe A d'individus, par exemple une maladie, avec celle du même événement arrivant à un groupe B d'individus. Les cotes sont à entendre comme celle d'un cheval de course dans un grand prix. Un cheval à 3 contre 1 a une chance sur 4 de gagner.

L’odds ratio est proche du risque relatif lorsque le nombre d’événements est faible. En d'autres termes, si ${\displaystyle p}$ est petit alors ${\textstyle p/(1-p)}$ est à peu près égal à ${\displaystyle p}$.

Si ${\displaystyle p}$ est la probabilité qu'un événement arrive dans le groupe A, et ${\displaystyle q}$ est celle qu’il arrive dans un groupe B, alors le rapport des cotes est :

${\displaystyle {\frac {p/(1-p)}{q/(1-q)}}={\frac {p(1-q)}{q(1-p)}}}$

L’odds ratio est toujours supérieur ou égal à zéro.

Un odds ratio :

• < 1 signifie que l'événement est moins fréquent dans le groupe A que dans le groupe B ;
• = 1 signifie que l'événement est aussi fréquent dans les deux groupes ;
• > 1 signifie que l'événement est plus fréquent dans le groupe A que dans le groupe B.

Considérons l'exemple factice suivant. Soit A un échantillon de 100 individus avec des chapeaux bleus ayant bu au moins un verre de vin la semaine en cours, 90 en ont bu également la semaine précédente. Soit B un échantillon de 100 individus avec des chapeaux oranges dans le même cas, 20 en ont bu également la semaine précédente. L'odds ratio A/B est donc de 36:

${\displaystyle {0.9/0.1 \over 0.2/0.8}={\frac {\;0.9\times 0.8\;}{\;0.1\times 0.2\;}}={0.72 \over 0.02}=36}$

Cela montre que la consommation hebdomadaire d’alcool est 36 fois plus cotée à l’intérieur du groupe A qu’à l’intérieur du groupe B.

On utilise souvent en régression logistique le logarithme de l'odds ratio, plutôt sous la forme d'une différence des logits des probabilités des groupes à comparer, en remarquant que :

${\displaystyle \ln \left({\frac {p}{1-p}}\times {\frac {1-q}{q}}\right)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)-\ln \left({\frac {q}{1-q}}\right)}$

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