Relation de Steinhart-Hart

On peut chercher la relation réciproque (obtenir R en sachant T), avec T en kelvins et R en ohms.

${\displaystyle R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-{x \over 2}}}-{\sqrt[{3}]{y+{x \over 2}}}\right)}$

Avec

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right)\\y&={\sqrt {\left({B \over 3C}\right)^{3}+\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

Programme en Python 2.7 pour calculer la relation ci dessus:

#!/usr/bin/python2.7
# Cyrus.rocher@femto-st.fr/ (Femto-st Institut)Last modification; 02/Oct/2018
import math
from math import log as ln# on francise le log en log neperien ln
from math import exp
#---coefficients de Steinhart-Hart pour l'exemple---#
A= 0.0011268740732306604
B= 0.00023452183442732656
C= 8.590172470421073e-08
#---------------------------------------------------#
x=(1/C)*(A-1/T)
y=((B/3/C)**3+(x/2)**2)**0.5
Tc= T-273.15 # temperature en degres Celsius
R= exp(pow((y-(x/2)),1/3.0)-(pow((y+(x/2)),1/3.0)))
#print(x,y)
#print(A,B,C)
print(R,Tc)

Pour trouver les coefficients de Steinhart-Hart il suffit de connaître trois points de fonctionnement et de poser un système. Pour cela, on utilise trois valeurs de résistance données pour trois températures connues.

${\displaystyle {\begin{cases}A+(\ln R_{1}).B+(\ln R_{1})^{3}.C={\dfrac {1}{T_{1}}}\\A+(\ln R_{2}).B+(\ln R_{2})^{3}.C={\dfrac {1}{T_{2}}}\\A+(\ln R_{3}).B+(\ln R_{3})^{3}.C={\dfrac {1}{T_{3}}}\end{cases}}}$

Avec ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$ et ${\displaystyle R_{3}}$ les valeurs de la résistance aux températures respectives ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$ et ${\displaystyle T_{3}}$, on peut alors exprimer ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ après quelques substitutions :

On pose ${\displaystyle Y_{1}={\dfrac {1}{T_{1}}}}$  ${\displaystyle Y_{2}={\dfrac {1}{T_{2}}}}$ et ${\displaystyle Y_{3}={\dfrac {1}{T_{3}}}}$  ainsi que ${\displaystyle L_{1}=\ln R_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}=\ln R_{2}}$ et ${\displaystyle L_{3}=\ln R_{3}}$

On obtient alors  :

${\displaystyle a=\left({\dfrac {L_{2}-L_{3}}{L_{1}-L_{2}}}\right)\times \left(L_{2}^{3}-L_{1}^{3}\right)+\left(L_{2}^{3}-L_{3}^{3}\right)}$ et ${\displaystyle b=Y_{2}-Y_{3}-\left({\dfrac {L_{2}-L_{3}}{L_{1}-L_{2}}}\right)\times \left(Y_{1}-Y_{2}\right)}$

Les coefficients s'obtiennent comme ceci :

${\displaystyle C={\dfrac {b}{a}}}$

${\displaystyle B=\left({\dfrac {1}{L_{1}-L_{2}}}\right)\times {\Bigl [}Y_{1}-Y_{2}-\left(L_{1}^{3}-L_{2}^{3}\right)\times C{\Bigr ]}}$

${\displaystyle A=Y_{1}-L_{1}\cdot B-L_{1}^{3}\cdot C}$

D'où le petit programme (largement améliorable) ci-dessous écrit en Python2.7, permettant de déterminer ces coefficients.

#!/usr/bin/python2.7

# on francise le log en log neperien ln !
from math import *
from math import log as ln

Tun = eval(input('Entrez la temperature T1 du premier point (en degres Celsius) : '))
Run = eval(input('et la resistance R1 du premier point (en ohms) : '))
print('\t----------------------------------')
Tdeux = eval(input('Entrez la temperature T2 du deuxieme point (en degres Celsius) : '))
Rdeux = eval(input('et la resistance R2 du deuxieme point(en ohms) : '))
print('\t----------------------------------')
Ttrois = eval(input('Entrez la temperature T3 du troisieme point (en degres Celsius) : '))
Rtrois = eval(input('et la resistance R3 du troisieme point (en ohms) : '))

# calculs en kelvins
Tun = Tun + 273.15
Tdeux = Tdeux + 273.15
Ttrois = Ttrois + 273.15

# changement de variables
Yun = 1/Tun
Ydeux = 1/Tdeux
Ytrois = 1/Ttrois

Lun = ln (Run)
Ldeux = ln (Rdeux)
Ltrois = ln (Rtrois)

# calculs intermediaires
a = (Ldeux-Ltrois)/(Lun-Ldeux)*(pow (Ldeux,3) - pow (Lun,3)) + (pow (Ldeux,3) - pow (Ltrois,3))
b = Ydeux - Ytrois - ((Ldeux-Ltrois)/(Lun-Ldeux))*(Yun-Ydeux)

# calculs de A, B et C
C = b / a
B = (1/(Lun-Ldeux))*(Yun-Ydeux-C*(pow(Lun,3) - pow(Ldeux,3)))
A = Yun - B*Lun - C*pow (Lun,3)

#Affichages de A, B et C
print('\t ###################################################################')
print('Dans l\'equation 1/T = A + B*ln R + C*(ln R)^3 on sait désormais que :')
print('\t ###################################################################')
print('Le coefficient A vaut ', A)
print('Le coefficient B vaut ', B)
print('Le coefficient C vaut ', C)