Relation de Sylvester dans le triangle

En géométrie, la relation de Sylvester, portant le nom de James Joseph Sylvester, est une relation vectorielle entre le centre du cercle circonscrit d'un triangle et son orthocentre.

Énoncé

Soit le centre du cercle circonscrit au triangle , son orthocentre. La relation de Sylvester s'écrit [1],[2] :

.

Comme le centre de gravité du triangle vérifie , cette relation est en fait équivalente à la relation vectorielle d'Euler : .

Démonstration[3]

Soit le point défini par , et le projeté de sur , qui est aussi le milieu de .

Alors  ;

est donc orthogonal à , et se trouve sur la hauteur issue de A.

Par symétrie, se trouve donc sur les trois hauteurs, et n'est autre que l'orthocentre , CQFD.

Références

  1. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, (ISBN 978-0-486-46237-0), p. 251
  2. Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover, 1965, (ISBN 0486-61348-8), S. 142 (online-copy at the internet archive)
  3. Yvonne et rené Sortais, La géométrie du triangle, Hermann, , p. 9

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