Relation de Sylvester dans le triangle

Soit ${\displaystyle O}$ le centre du cercle circonscrit au triangle ${\displaystyle (ABC)}$, ${\displaystyle H}$ son orthocentre. La relation de Sylvester s'écrit [1]^,[2] :

${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}$.

Comme le centre de gravité ${\displaystyle G}$ du triangle vérifie ${\displaystyle 3{\overrightarrow {OG}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}$, cette relation est en fait équivalente à la relation vectorielle d'Euler : ${\displaystyle {\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}}$.

Soit ${\displaystyle X}$ le point défini par ${\displaystyle {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}}$, et ${\displaystyle I}$ le projeté de ${\displaystyle O}$ sur ${\displaystyle [BC]}$ , qui est aussi le milieu de ${\displaystyle [BC]}$.

Alors ${\displaystyle {\overrightarrow {OX}}-{\overrightarrow {OA}}={\overrightarrow {AX}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}=2{\overrightarrow {OI}}}$ ;

${\displaystyle {\overrightarrow {AX}}}$ est donc orthogonal à ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$, et ${\displaystyle X}$ se trouve sur la hauteur issue de A.

Par symétrie, ${\displaystyle X}$ se trouve donc sur les trois hauteurs, et ${\displaystyle X}$ n'est autre que l'orthocentre ${\displaystyle H}$, CQFD.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sylverster's triangle problem » (voir la liste des auteurs).

• Weisstein, Eric W. "Sylvester's Triangle Problem" . MathWorld .
• Darij Grinberg: Solution to American Mathematical Monthly Problem 11398 par Stanley Huang

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