Cycle de Carnot

Carnot cherchait à définir le cycle de meilleure efficacité[alpha 1] possible. Ainsi l'efficacité de toute machine thermodynamique peut être comparée avec l'efficacité du cycle de Carnot. C'est un cycle théorique : en effet, le cycle étant réversible, il s'effectue en l'absence de phénomènes dissipatifs, et de façon quasi-statique, et n'est donc pas un cycle réel (voir notamment la notion de réversibilité thermodynamique).

Le cycle est composé de quatre transformations successives (les lettres A B C D se rapportent aux diagrammes) :

1. Compression isotherme réversible (C→D) / (3→4) (respectivement sur la figure du haut et la figure du bas) ;
2. Compression adiabatique réversible (D→A) / (4→1) ;
3. Détente isotherme réversible (A→B) / (1→2) ;
4. Détente adiabatique réversible (B→C) / (2→3).

Le deuxième principe de la thermodynamique permet d'établir pour une transformation réversible (pour laquelle la température à la frontière du fluide est égale à la température de la source) l'égalité de Clausius-Carnot :

${\displaystyle {\frac {Q_{f}}{T_{f}}}+{\frac {Q_{c}}{T_{c}}}=0}$

avec :

• Q_f transfert thermique avec la source froide ;
• Q_c transfert thermique avec la source chaude ;
• T_f température de la source froide, constante (en kelvin) ;
• T_c température de la source chaude, constante (en kelvin).

Cycle de Carnot moteur d'un gaz parfait dans le diagramme de Clapeyron.
- 1-2 : isotherme réversible ;
- 2-3 : adiabatique réversible ;
- 3-4 : isotherme réversible ;
- 4-1 : adiabatique réversible.
W est le travail total reçu par le système au cours d'un cycle et est représenté géométriquement par l'opposé de l'aire du cycle.

L'efficacité thermodynamique (ou énergétique) d'un système est définie comme le rapport entre l'énergie utile en sortie de ce système, et l'énergie fournie par les utilisateurs en entrée de ce système. Pour un cycle de Carnot moteur, on a donc :

${\displaystyle \eta =\mathrm {efficacit{\acute {e}}\ {\acute {e}}nerg{\acute {e}}tique} ={\mathrm {{\acute {e}}nergie\ utile\ en\ sortie} \over \mathrm {{\acute {e}}nergie\ fournie\ en\ entr{\acute {e}}e} }}$.

Pour un cycle de Carnot moteur, l'énergie utile est celle correspondant au travail algébrique W fourni par le fluide (et donc compté négativement), et l'énergie reçue par le fluide est sous forme d'énergie thermique apportée par la source chaude (Q_c) grâce à un transfert thermique.

Par définition, on obtient donc pour un cycle de Carnot moteur :

${\displaystyle \eta ={\frac {-W}{Q_{c}}}}$.

Par ailleurs, le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce cycle donne :

${\displaystyle \Delta U=W+Q_{f}+Q_{c}=0\quad \Longrightarrow \quad -W=Q_{c}+Q_{f}}$.

On obtient donc :

${\displaystyle \eta ={\frac {Q_{c}+Q_{f}}{Q_{c}}}=1+{\frac {Q_{f}}{Q_{c}}}.}$

L'égalité de Clausius-Carnot (expression du second principe) affirme que

${\displaystyle {\frac {Q_{f}}{Q_{c}}}\leq \ -{\frac {T_{f}}{T_{c}}}.}$

Ainsi[3]:

$${\displaystyle \eta \leq \ 1-{\frac {T_{f}}{T_{c}}}}$$

On obtient une efficacité η < 1. Il est donc impossible d'obtenir une efficacité de 100 %, même pour le cycle de Carnot moteur entièrement réversible, sauf pour le cas irréaliste où : T_f = 0 K[alpha 2].

Dans le cas d'une machine frigorifique (climatisation, réfrigérateur…), le cycle de Carnot reçoit un travail extérieur et l'utilise pour réaliser un transfert thermique permettant de prendre de l'énergie thermique au milieu que l'on cherche à refroidir, appelé source froide (intérieur d'un réfrigérateur par exemple). L'efficacité d'un tel cycle est donnée par :

${\displaystyle e_{c}={\frac {Q_{f}}{W}}={\frac {T_{f}}{T_{c}-T_{f}}}}$[4]^,[3].

• Q_f le transfert thermique (chaleur) échangé entre la machine et la source froide ;
• W le travail total sur le cycle ;
• T_f la température de la source froide ;
• T_c la température de la source chaude.

L’efficacité d’une machine frigorifique de Carnot n’est pas nécessairement inférieure à 1. Elle est d’autant plus grande (et tend vers l’infini) que les températures des sources sont proches l’une de l’autre. Toutes les machines frigorifiques réelles ont une efficacité inférieure à celle de la machine de Carnot correspondante.

Dans le cas d'une pompe à chaleur, le cycle de Carnot reçoit un travail extérieur et l'utilise pour apporter de l'énergie thermique au milieu que l'on cherche à réchauffer, appelée source chaude (par exemple, l'intérieur d'une maison). L'efficacité d'un tel cycle est donnée par :

${\displaystyle e={\frac {-Q_{c}}{W}}\leqslant {\frac {T_{c}}{T_{c}-T_{f}}}=e_{c}}$[4]^,[3].

• Q_c chaleur transférée à la source chaude par la pompe à chaleur  ;
• W travail total sur le cycle ;
• T_f température de la source froide ;
• T_c température de la source chaude.

Cette efficacité ${\displaystyle e_{c}}$ est appelée coefficient de performance ou COP, plutôt que rendement puisque sa valeur est systématiquement supérieure à 1.

La valeur de ${\displaystyle e_{c}}$ fournit la limite supérieure du COP de toute pompe à chaleur réelle fonctionnant entre des sources aux températures T_f et T_c.