Repère projectif

En géométrie projective, un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un (n + 2)-uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre de l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :

• un repère projectif d'une droite projective est donné par 3 points distincts de la droite ;
• un repère projectif d'un plan projectif est un quadruplet de points du plan, tels que 3 parmi ceux-ci ne sont pas alignés ;
• etc.

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Les repères projectifs jouent pour les espaces projectifs un rôle analogue à celui des bases pour les espaces vectoriels, et des repères affines pour les espaces affines, c'est-à-dire qu'elle permettent de caractériser les applications associées, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut :

• n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ;
• n + 1 points pour un repère affine ;
• n + 2 points pour un repère projectif.

Une application projective est définie et entièrement déterminée par les images des points d'un repère projectif. Un repère projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre à ce dernier l'espace projectif défini sur l'espace vectoriel Kⁿ⁺¹ (par une transformation projective ou homographie) et donc de définir un système de coordonnées homogènes (n + 1 coordonnées) sur l'espace d'origine.

Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension ${\displaystyle n+1}$ associé. On veut donc choisir une base ${\displaystyle (e_{1},...,e_{n+1})}$ de cet espace, et considérer les points ${\displaystyle (p_{1},...,p_{n+1})=(\pi (e_{1}),...,\pi (e_{n+1}))}$ comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n+1})}$ dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur ${\displaystyle x=x_{1}\cdot e_{1}+...+x_{n+1}\cdot e_{n+1}}$ qui définit un unique point ${\displaystyle \pi (x)}$ dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif ${\displaystyle (p_{1},...,p_{n+1})}$, on ne peut pas retrouver les vecteurs ${\displaystyle (e_{1},...,e_{n})}$ qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme ${\displaystyle {\tilde {e}}_{1}=\lambda _{1}\cdot e_{1},...,{\tilde {e}}_{n+1}=\lambda _{n+1}\cdot e_{n+1}}$. Si l'on considère le nouveau vecteur ${\displaystyle {\tilde {x}}=x_{1}\cdot {\tilde {e}}_{1}+...+x_{n+1}\cdot {\tilde {e}}_{n+1}=x_{1}\lambda _{1}\cdot e_{1}+...+x_{n+1}\lambda _{n+1}\cdot e_{n+1}}$, celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à ${\displaystyle x}$, et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les ${\displaystyle \lambda _{i}}$ sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points ${\displaystyle (p_{1},...,p_{n+1})}$ une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs ${\displaystyle {\tilde {e}}_{1},...,{\tilde {e}}_{n+1}}$ comme ci-dessus à vérifier ${\displaystyle \lambda _{1}=...=\lambda _{n+1}}$. Pour cela, on impose une contrainte sur la somme ${\displaystyle {\tilde {e}}_{1}+...+{\tilde {e}}_{n+1}}$ qui doit être colinéaire à la somme ${\displaystyle e_{1}+...+e_{n+1}}$ choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux ${\displaystyle p_{i}}$ le point ${\displaystyle p_{n+2}=\pi (e_{1}+...+e_{n+1})}$, et alors tout choix de ${\displaystyle {\tilde {e}}_{1},...,{\tilde {e}}_{n+1}}$ vérifiant ${\displaystyle \pi ({\tilde {e}}_{1}+...+{\tilde {e}}_{n+1})=p_{n+2}}$ permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonnées ${\displaystyle (x_{1},...,x_{n+1})}$ comme indiqué ci-dessus.

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