Repliement de spectre

En anglais, le repliement du spectre s'appelle généralement aliasing, du latin alias, exprimant par une métaphore que le même signal se présente sous la forme d'une autre fréquence. Ce terme désigne le changement de fréquence volontaire dans les récepteurs de radio superhétérodynes ; il a été par la suite associé à celui, préjudiciable, qui se produit avec les signaux dépassant la moitié de la fréquence porteuse ou la fréquence d'échantillonnage, puis au crénelage, un effet de l'erreur de quantification dans les images numériques. Le repliement du spectre, dans une image, s'appelle moiré[1]. Cette confusion s'explique par le fait que l'un et l'autre sont des effets de la discrétisation du signal, soit temporelle, soit dans son amplitude, et par la liaison intime des deux dans le processus de numérisation.

Les termes français correspondants sont repliement ou repli de spectre ou spectral pour le phénomène et distorsion de repliement pour son résultat. Dans le contexte des récepteurs superhétérodynes, le produit du changement de fréquence est la fréquence conjuguée[2].

Pour comprendre l'effet de repliement du spectre sans les mathématiques, il faut se représenter le cheminement du signal.

Supposons que les impulsions d'échantillonnage se produisent à un intervalle temps τ. Le système prélèvera un échantillon au temps 0, au temps τ, au temps 2τ, etc. La fréquence d'échantillonnage est f_e = 1 / τ.

Comme pendant l'intervalle entre deux échantillons, le système néglige l'évolution du signal, on conçoit que plusieurs signaux différents puissent donner exactement la même suite d'échantillons.

Supposons que le signal soit périodique, c'est-à-dire qu'il se reproduit identiquement à chaque période P. Pour simplifier les calculs, on prend des signaux sinusoïdaux, mais ce n'est pas indispensable au raisonnement. La valeur des échantillons

${\displaystyle \operatorname {s} (n\tau )=\sin \left(\left(\omega +p{\frac {2\pi }{\tau }}\right)n\tau \right)=\sin \left(\omega n\tau +p{\frac {2\pi n\tau }{\tau }}\right)=\sin(\omega (n\tau )+pn\times 2\pi )=\sin(\omega n\tau )}$

où n et p sont des nombres entiers relatifs, est égale quel que soit p. Toutes les sinusoïdes de fréquence f + p f_e correspondent à la même série d'échantillons.

Au moment de la reconstitution, le filtre ne conserve que la sinusoïde dont la fréquence est inférieure à f_e / 2. Ce n'est pas forcément celle du signal original. Notamment, si la fréquence du signal était supérieure à f_e / 2, le filtre de reconstitution obtiendra la fréquence de différence (p = -1) f - f_e (une fréquence négative est ici égale à la fréquence positive à la phase près).

Il en va de même pour toutes les fréquences. Chaque fréquence f a deux séries de conjuguées ${\displaystyle nf_{e}+f}$ et ${\displaystyle nf_{e}-f}$. Le spectre se trouve ainsi replié entre 0 et f_e / 2.

Lorsque la fréquence du signal est comprise entre 0 et la demi-fréquence d'échantillonnage, le résultat après reconstruction correspond à un produit d'intermodulation entre le signal et la fréquence d'échantillonnage.

Supposons un échantillonnage à 44,1 kHz. Si le signal original a une fréquence f supérieure à 22,05 kHz, il sera reproduit à (44.1 - f). On construit donc des filtres pour éliminer aussi radicalement que possible toutes les fréquences au-dessus de 20 kHz. Mais il est impossible de construire un mur qui limite radicalement la bande passante à une certaine fréquence. Les filtres ont une pente de tant de décibels par octave. Entre 20 kHz et 22,05 kHz, il n'y a que 10 % d'écart. Il est impossible d'avoir, dès 22,05 kHz, des atténuations appréciables.

Ce qui sauve le système, c'est que les fréquences conjuguées des fréquences supérieures à la demi-fréquence d'échantillonnage se trouvent en ordre inverse, d'abord dans la bande de réserve, puis dans la bande audible :

L'oreille est moins sensible à la tonalité dans les extrêmes basses et aigües. Le filtre atténue donc d'autant plus que la fréquence conjuguée se rapproche de la région où la perception humaine est plus détaillée. En outre, dans la voix humaine et dans les instruments de musique capables de produire une note tenue, les fréquences élevées sont notablement plus faibles, et naturellement inharmoniques. Tous ces facteurs permettent à un système peu rigoureux théoriquement de produire des résultats acceptés par le public dans la pratique, d'autant plus qu'au moment de son lancement, il apparaissait comme un progrès sur le système précédent, le disque microsillon.

Le repliement du spectre se produit lorsqu'on utilise un système à balayage (raster) qui décompose l'image en lignes ou en un tableau de pixels. Lorsque le sujet comporte un motif régulier, il ne peut être reproduit, et on observe une surface traversée par des zones claires et sombres.