Représentation coadjointe

La représentation coadjointe ${\displaystyle \rho }$ d'un groupe de Lie G est l'action naturelle de G sur le dual de son algèbre de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$[1]. Plus explicitement, G agit par conjugaison sur son espace cotangent en l'élément neutre e et cette représentation linéaire est donnée par le morphisme de groupes de Lie :

${\displaystyle \rho :G\rightarrow End({\mathfrak {g}}^{*})}$

Interprétation géométrique : cette action est vue comme l'action par translation à gauche sur l'espace des formes invariantes à droite sur G.

L'orbite coadjointe joue un rôle central dans la théorie de la représentation.

Les orbites coadjointes sont des variétés symplectiques[2].