Représentations de e

La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». Voir aussi la suite A003417 de l'OEIS) :

${\displaystyle {\rm {e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,\ldots ,1,{\textbf {2n}},1,\ldots ]\,}$

Voici quelques fractions continues généralisées (en notation de Pringsheim). La deuxième est déduite de la première par conversion. La troisième, qui converge très rapidement, est un cas particulier de la quatrième.

${\displaystyle {\rm {e}}=2+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 2}}+{\frac {2\mid }{\mid 3}}+{\frac {3\mid }{\mid 4}}+{\frac {4\mid }{\mid \cdots }}}$

${\displaystyle {\rm {e}}=2+{\frac {2\mid }{\mid 2}}+{\frac {3\mid }{\mid 3}}+{\frac {4\mid }{\mid 4}}+{\frac {5\mid }{\mid 5}}+{\frac {6\mid }{\mid \cdots }}}$

${\displaystyle {\rm {e}}=1+{\frac {2\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 6}}+{\frac {1\mid }{\mid 10}}+{\frac {1\mid }{\mid 14}}+{\frac {1\mid }{\mid \cdots }}}$

${\displaystyle {\rm {e}}^{x/y}=1+{\frac {2x\mid }{\mid 2y-x}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid 6y}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid 10y}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid 14y}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid \cdots }}}$

La constante e est aussi égale à la somme de ces séries[1] :

1. ${\displaystyle {\rm {e}}=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}$
2. ${\displaystyle {\rm {e}}=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}$
3. ${\displaystyle {\rm {e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$
4. ${\displaystyle {\rm {e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$
5. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$
6. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$
7. ${\displaystyle {\rm {e}}=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}$
8. ${\displaystyle {\rm {e}}=-{\frac {12}{\pi ^{2}}}\left[\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}$
9. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}$
10. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2(k-1)!}}}$
11. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}$
12. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}$
13. ${\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ où B_n est le n-ième nombre de Bell.

La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Pippenger :

${\displaystyle {\rm {e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }$

et le produit de Guillera[2]

${\displaystyle {\rm {e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

où le n-ième facteur est la racine n-ième du produit

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}$

Il y a aussi les produits infinis

${\displaystyle {\rm {e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}}$

et

${\displaystyle {\rm {e}}={\sqrt[{1}]{\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{2}]{\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots .}$

La constante e est égale à plusieurs limites de suites :

${\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$ (par la formule de Stirling).

La limite symétrique[3] :

${\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}$

peut être obtenue en manipulant la limite de base de e.

Une autre limite[4] :

${\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}}$

où ${\displaystyle p_{n}}$ est le n-ième nombre premier et ${\displaystyle p_{n}\#}$ est sa primorielle.

Probablement la limite la plus connue :

${\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$.

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