Retour sur trace non chronologique

Dans un algorithme de retour sur trace, si pour un nœud de l’arbre de recherche si toutes les valeurs de la variable choisies pour ce nœud conduisent à une contradiction, ou encore si aucune valeur de cette variable ne conduit à une solution, l’algorithme revient alors sur la valeur de la variable du nœud parent en tentant une nouvelle valeur, puis à la valeur de la précédente variable si de même toutes les valeurs ont été essayées. Si ${\displaystyle x_{1}=a_{1},\ldots ,x_{k}=a_{k}}$ est l’affectation partielle courante des variables et si toutes les valeurs de ${\displaystyle x_{k+1}}$ ont été essayées sans trouver une solution, l’algorithme conclut qu'aucune pour les valeurs ${\displaystyle x_{k+1}}$ n’existe. Alors l'algorithme « remonte » à ${\displaystyle x_{k}}$, et choisit si possible une nouvelle valeur à affecter à ${\displaystyle x_{k}}$, ou bien retourne de nouveau en arrière s'il n’y a plus de valeur à essayer.

Toutes les valeurs de l’affectation partielle ne sont pas toujours nécessaires pour démontrer qu’aucune valeur de ${\displaystyle x_{k+1}}$ ne permet d'aboutir à une solution. En particulier, un préfixe de l’affectation partielle peut avoir la même propriété, c’est-à-dire qu’il existe un indice ${\displaystyle j<k}$ tel que ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{j}=a_{1},\ldots ,a_{j}}$ ne peut pas être étendue pour former une solution quelle que soit la valeur de ${\displaystyle x_{k+1}}$. Si l'algorithme peut prouver ce fait, on peut considérer directement une valeur différente pour ${\displaystyle x_{j}}$ au lieu de reconsidérer ${\displaystyle x_{k}}$ comme il le ferait normalement.

Un exemple dans lequel l’affectation partielle courante de ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}}$ a été essayée sans succès pour toutes les valeurs possibles de ${\displaystyle x_{5}}$. Le retour sur trace revient sur ${\displaystyle x_{4}}$, en essayant de lui attribuer une nouvelle valeur.	Au lieu de retourner au niveau encore supérieur, l’algorithme élabore en démontrant qu’aucune des affectations ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{5}=211}$, ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{5}=212}$, et ${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{5}=213}$	En conséquence, l’affectation de ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ ne conduit jamais à une solution non plus. L’algorithme revient alors directement à ${\displaystyle x_{2}}$, en tentant de lui affecter une nouvelle valeur.

L'efficacité d'un tel algorithme dépend de la hauteur à laquelle il est capable de remonter non-chronologiquement. Idéalement, l'algorithme pourrait passer de ${\displaystyle x_{k+1}}$ à n’importe laquelle des ${\displaystyle x_{j}}$ telle que l'affectation actuelle de ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{j}}$ ne puisse pas être prolongée pour former une solution pour toute valeur de ${\displaystyle x_{k+1}}$. Si c'est le cas, ${\displaystyle j}$ est appelé un saut sûr.

Établir si un saut est sûr n'est pas toujours possible, car par définition le démontrer nécessite de connaître l’ensemble des solutions, ce qui est précisément ce qui est cherché par l’algorithme. Dans la pratique, les algorithmes de backjumping ne cherchent pas à trouver tous les sauts surs, mais utilisent des techniques pour démontrer rapidement qu’un saut est sûr. Différents algorithmes utilisent différentes méthodes pour déterminer si un saut est sûr. Le saut effectué est le saut de l’indice le plus bas dont il est efficacement possible de démontrer efficacement sûr. Il y a plusieurs méthodes plus ou moins complexes pour le faire, mais le coût des plus couteuses, si elles permettent de trouver un indice haut, pourrait être compensé par une réduction importante de la taille de l’arbre de recherche. Il y a donc un compromis à trouver.

La plus simple condition sous laquelle le backjumping est possible est lorsque toutes les valeurs d'une variable ont été révélées incompatibles dans un nœud de l’arbre de recherche, et qu’il n’y a donc plus de ramification possible à partir de ce nœud. Dans la satisfaction de contrainte, une affectation partielle est cohérente si et seulement si elle satisfait à toutes les contraintes impliquant les variables assignées, et contradictoire autrement. Il est possible qu’une solution partielle cohérente ne puisse être étendue à une solution plus complète parce qu’assigner des valeurs possibles aux variables supplémentaires conduit systématiquement à générer des évaluations contradictoires.

L'état dans lequel toutes les valeurs d'une variable donnée ${\displaystyle x_{k+1}}$ sont incompatibles avec la solution partielle ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}=a_{1},\ldots ,a_{k}}$ est appelé une feuille impasse. Cet état survient lorsque la variable ${\displaystyle x_{k+1}}$ est une feuille de l'arbre de recherche (qui correspondent à des nœuds qui ont pour uniques fils une feuille de l’arbre dans les figures de cet article.)

Le backjumping par l'algorithme Gaschnig ne réalise un backjump que dans les feuilles impasses. En d'autres termes, il fonctionne différemment du retour sur trace classique uniquement lorsque toutes les valeurs possibles de x_{k+1} ont été testées et ont engendré une incohérence, sans qu’il ait été nécessaire de ramifier davantage l’arbre.

Un saut sûr peut être trouvé simplement en évaluant, pour chaque valeur ${\displaystyle a_{k+1}}$le plus court préfixe de ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}=a_{1},\ldots ,a_{k}}$ incompatible avec ${\displaystyle x_{k+1}=a_{k+1}}$. En d'autres termes, si ${\displaystyle a_{k+1}}$ est une valeur possible pour ${\displaystyle x_{k+1}}$, l'algorithme vérifie la cohérence des évaluations suivantes :

${\displaystyle x_{1}=a_{1}}$	...	${\displaystyle x_{k-1}=a_{k-1}}$	${\displaystyle x_{k}=a_{k}}$	${\displaystyle x_{k+1}=a_{k+1}}$
${\displaystyle x_{1}=a_{1}}$	...	${\displaystyle x_{k-1}=a_{k-1}}$	${\displaystyle x_{k+1}=a_{k+1}}$
...
${\displaystyle x_{1}=a_{1}}$	${\displaystyle x_{k+1}=a_{k+1}}$

Le plus petit indice (plus bas de la liste) pour laquelle les évaluations sont incohérentes serait un saut sécuritaire dans le cas ou ${\displaystyle x_{k+1}=a_{k+1}}$ était la seule valeur possible pour ${\displaystyle x_{k+1}}$. En règle générale il n’y a pas qu’une affectation possible pour une variable, l’indice maximal donné en effectuant cette recherche est par conséquent un saut sûr, et c’est au nœud correspondant que l’algorithme (de Gaschnig) saute.

L'algorithme précédent ne saute non chronologiquement que lorsqu'une solution partielle peut être montrée incohérente sans davantage de ramification. En d'autres termes, il ne permet un backjump qu’à des nœuds feuilles de l'arbre de recherche.

Un nœud interne de l'arbre de recherche représente une affectation d'une variable qui est cohérente avec les précédentes. Si aucune solution n’étend cette affectation, l'algorithme précédent saute toujours au nœud parent et jamais non chronologiquement.

Un saut non chronologique vers un nœud interne ne peut être effectué qu’à partir d’une feuille. En effet, si certaines évaluations de ${\displaystyle x_{k+1}}$ nécessitent des ramifications, c'est parce qu'ils sont compatibles avec l'affectation actuelle. En conséquence, la recherche d'un préfixe qui est en contradiction avec ces valeurs potentielles de la dernière variable va échouer.

Dans un tel cas, ce qui a permis de démontrer qu’une affectation ${\displaystyle x_{k+1}=a_{k+1}}$ ne peut faire partie d’une solution compatible avec l’affectation partielle ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$ est la recherche récursive. En particulier, l’algorithme « sait » qu’aucune solution n’est trouvable à partir de ce point parce qu’il est retourné à ce nœud sans avoir trouvé de solution dans un de ses enfants.

Ce retour est causé par un certain nombre d’impasses, des points où l’algorithme a démontré qu’une certaine affectation partielle est incohérente. Pour sauter plus haut, l’algorithme doit prendre en compte le fait que l’impossibilité de trouver des solutions est causée par ces impasses. En particulier, les sauts surs sont les index des préfixes qui préservent le fait que les affectations partielles de ces impasses soient également des affectations partielles incohérentes.

Dans cet exemple, l’algorithme retourne à ${\displaystyle x_{k+1}}$, après avoir testé toutes les valeurs possibles. En effet, tous les points qu’il a croisés étaient incohérents.	Le second point demeure incohérent quand les valeurs pour ${\displaystyle x_{k+1}}$ et ${\displaystyle x_{k}}$ sont supprimées de l’affectation partielle (noter que les valeurs d’une variables sont dans les enfants de son nœud)	Les autres évaluations incohérentes le restent également en retirant ${\displaystyle x_{k-2}}$, ${\displaystyle x_{k-1}}$, et ${\displaystyle x_{k}}$	L’algorithme peut sauter vers ${\displaystyle x_{k-2}}$ car c’est la variable la plus basse dans l’arbre qui conserve toutes les incohérences. Une nouvelle valeur de ${\displaystyle x_{k-2}}$ sera essayée.

En d’autres termes, lorsque toutes les valeurs de ${\displaystyle x_{k+1}}$ ont été testées, l’algorithme peut faire un saut vers une variable précédente ${\displaystyle x_{i}}$ à partir du moment ou la valeur de vérité de l’évaluation partielle de ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{i}}$ ${\displaystyle x_{k+1},x_{k+2},...}$ des nœuds feuilles descendants de ${\displaystyle x_{k+1}}$. est fausse.

Simplifications

Lors de la recherche d'un saut non chronologique pour <math /> ou l'un de ses ancêtres, tous les nœuds dans la zone ombrée peuvent être ignoré.

De par le nombre potentiellement important de nœuds dans le sous-arbre de ${\displaystyle x_{k+1}}$, l’information nécessaire pour sauter non chronologiquement de manière sure depuis ${\displaystyle x_{k+1}}$ est collectée pendant l’exploration de ses sous-arbres. Il est possible d’optimiser la recherche d’un saut sûr de deux manières. La première est que l’algorithme fonctionne pour n’importe quel saut sûr, par conséquent il n’est pas nécessaire de trouver le saut le plus haut possible.

La seconde est que les nœuds du sous-arbre de ${\displaystyle x_{l}}$ évités lors d’un saut peuvent être ignorés lorsqu’on cherche un saut pour ${\displaystyle x_{l}}$. Plus précisément, tous les nœuds évités lors d’un saut d’un nœud ${\displaystyle x_{m}}$ vers un nœud ${\displaystyle x_{l}}$ sont non pertinents pour le sous arbre enraciné en ${\displaystyle x_{m}}$, et ainsi que leurs sous-arbres.

En effet, si un nœud ${\displaystyle x_{m}}$ descend d’un nœud x_{l} via un chemin, et qu’un saut non chronologique a lieu lors du retour vers x_l, il aurait été possible de raccourcir ce chemin et d’aller directement de ${\displaystyle x_{l}}$ à ${\displaystyle x_{m}}$ et d’obtenir le même résultat. Le saut nous indique que les affectations des nœuds entre ${\displaystyle x_{l}}$ et ${\displaystyle x_{m}}$ sont non pertinentes pour le sous-arbre enraciné en ${\displaystyle x_{m}}$. En d’autres termes, un saut non chronologique indique que visiter une région de l’arbre de recherche était une erreur. Cette partie peut donc être ignorée quand on évalue l’opportunité d’un saut non chronologique depuis ${\displaystyle x_{l}}$ ou l’un de ses ancêtres.

Les variables dont les valeurs sont suffisantes pour démontrer l’incohérence d’une affectation partielle dans le sous-arbre d’un nœud sont rassemblées dans ce nœud et renvoyées au nœud parent (après avoir supprimé la variable du nœud) lors d’un repli.

Ce fait peut être exploité en collectant dans chaque nœud un ensemble de variables assignées précédemment dont l’évaluation est suffisante pour montrer qu’aucune solution n’existe dans le sous-arbre enraciné à ce nœud. Cet ensemble est construit pendant l’exécution de l’algorithme. Lors d’un saut depuis d’un nœud, la variable de ce nœud en est retirée et rajoutée à l’ensemble associé à la destination du saut. Comme on ne saute jamais depuis un nœud évité par un saut non chronologique, leurs ensembles sont ignorés automatiquement.

• Retour sur trace
• Apprentissage de contraintes (en)

• Rina Dechter, Constraint Processing, Morgan Kaufmann, 2003, 481 p. (ISBN 1-55860-890-7, lire en ligne)
• Patrick Prosser, « Hybrid Algorithms for the Constraint Satisfaction Problem », Computational Intelligence,‎ 1993 (lire en ligne)

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