Série de Puiseux

En mathématiques, les séries de Puiseux sont une généralisation des séries formelles, introduites pour la première fois par Isaac Newton en 1676[1] et redécouvertes par Victor Puiseux en 1850[2], qui permet à l'exposant de l'indéterminée d'être négatif ou fractionnel (tout en étant, pour une série donnée, borné inférieurement et de dénominateur borné).

Définition

Une série de Puiseux d'indéterminée T est une série formelle de Laurent en T1/n (où n est un entier strictement positif) ; elle peut donc s'écrire :

avec k entier relatif.

Le corps KT⟫ des séries de Puiseux à coefficients dans un corps K est la réunion de la famille des corps de séries de Laurent K((T1/n)) (indexée par les entiers n > 0), en considérant K((T1/n)) comme inclus dans K((T1/(kn))) pour tout multiple kn de n, par l'identification de T1/n avec (T1/(kn))k.

Plus formellement, KT⟫ est la limite inductive d'une famille de corps de séries de Laurent notés K((Tn)), les indices n ∈ ℕ* étant ordonnés par la divisibilité et chaque morphisme (injectif) K((Tn)) → K((Tkn)) de ce système inductif étant donné par Tn ↦ (Tkn)k.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Puiseux series » (voir la liste des auteurs).
  1. Isaac Newton, « Letter to Oldenburg dated 1676 Oct 24 », dans The Correspondence of Isaac Newton, vol. II, CUP, (ISBN 0521087228), p. 126-127.
  2. V. Puiseux, « Recherches sur les fonctions algébriques », J. Math. Pures Appl., vol. 15, , p. 365-480 (lire en ligne) et « Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques », J. Math. Pures Appl., vol. 16, , p. 228-240 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

Ouvrages

  • (en) Saugata Basu, Richard Pollack (en) et Marie-Françoise Roy, Algorithms in Real Algebraic Geometry, Springer, coll. « Algorithms and Computations in Mathematics » (no 10), , 2e éd. (ISBN 978-3-540-33098-1, DOI 10.1007/3-540-33099-2, lire en ligne)
  • (en) Greg Cherlin, Model Theoretic Algebra Selected Topics, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics » (no 521), (ISBN 978-3-540-07696-4, présentation en ligne)
  • (en) Steven Dale Cutkosky, Resolution of Singularities, Providence (R.I.), AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 63), , 186 p. (ISBN 0-8218-3555-6, lire en ligne)
  • (en) Kiran S. Kedlaya (en), « The algebraic closure of the power series field in positive characteristic », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 129, , p. 3461–3470 (DOI 10.1090/S0002-9939-01-06001-4)
  • (en) Isaac Newton, « The method of fluxions and infinite series; with its application to the geometry of curve-lines », (traduit du latin et publié par John Colson en 1736),
  • (en) Igor R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry : Varieties in projective space. 1, Berlin, Springer, , 2e éd., 572 p. (ISBN 978-3-540-54812-6)
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