S-matrice (mathématiques)

Les propriétés équivalentes pouvant servir de définition aux ${\displaystyle \mathbf {S} }$-matrices requièrent que l'on précise quelques notations et rappelle la définition d'un problème de complémentarité linéaire.

• Pour un vecteur ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, la notation ${\displaystyle x\geqslant 0}$ signifie que toutes les composantes ${\displaystyle x_{i}}$ du vecteur sont positives et la notation ${\displaystyle x>0}$ signifie que toutes les composantes du vecteur sont strictement positives.
• Étant donnés une matrice réelle carrée d'ordre ${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ et un vecteur ${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{n}}$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ tel que ${\displaystyle x\geqslant 0}$, ${\displaystyle Mx+q\geqslant 0}$ et ${\displaystyle x^{\!\top }(Mx+q)=0}$ (ce qui revient à dire que le produit de Hadamard de ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle Mx+q}$ est nul), ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :
  
  ${\displaystyle {\mbox{CL}}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.}$
  
  

La lettre S renvoie à Stiemke[1].