Secteur circulaire

Soient θ l'angle en radians et r le rayon. La superficie totale d'un disque est ${\displaystyle \pi r^{2}}$. La superficie du secteur circulaire peut être obtenue en multipliant la superficie du disque par le rapport entre l'angle et ${\displaystyle 2\pi }$ (car l'aire d'un secteur est proportionnelle à son angle et un secteur d'angle ${\displaystyle 2\pi }$ est le disque tout entier) :

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {1}{2}}r^{2}\theta }$.

De même, si θ° représente l'angle en degrés, on obtient :

${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}}$.

Par un raisonnement analogue, la longueur L de l'arc de cercle est donnée par la formule suivante (où θ° est en degrés) :

${\displaystyle L=2\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{360}}=\pi r\cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}}$.

On a donc A = L . r / 2

La longueur P du périmètre d'un secteur circulaire, somme de la longueur d'arc et des deux rayons, est donc donnée par la formule suivante (où θ° est en degrés) :

${\displaystyle P=2r+L=r\cdot \left(2+\pi \cdot {\frac {\theta ^{\circ }}{180}}\right)}$

Le centre de gravité d'un secteur angulaire est situé sur l'axe de symétrie du secteur et à une distance du sommet égale aux deux tiers de la distance entre le centre et le centre de gravité de l'arc de cercle correspondant[1]. En sachant que le centre de gravité d'un arc de cercle[2] est à une distance du centre égale à longueur de la corde AB/longueur de l'arc AB×r, on obtient les formules :

${\displaystyle {\begin{aligned}OG&={\frac {2}{3}}{\frac {AB}{\overset {\ {\displaystyle \frown }}{AB}}}\cdot r&\\&={\frac {2}{3}}{\frac {\sin(\theta /2)}{\theta /2}}\cdot r&{\text{pour }}\theta {\text{ en radians}}\\&={\frac {120}{\pi }}{\frac {\sin(\theta ^{\circ }/2)}{\theta ^{\circ }/2}}\cdot r&{\text{pour }}\theta ^{\circ }{\text{ en degrés}}\end{aligned}}}$

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