Section (théorie des catégories)

Dans le domaine mathématique de la théorie des catégories, si on a un couple de morphismes $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to X$ tel que $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}$ (le morphisme identité de $Y$ , souvent réalisé par l'application identité sur $Y$ ), on dit que $g$ est une section de $f$ , et que $f$ est une rétraction de $g$ .

{\begin{array}{c}Y\xrightarrow {\quad g\quad } X\\{}_{1_{Y}}\searrow \quad \swarrow _{f}\\\quad Y\end{array}}

En d'autres termes, une section est un inverse à droite, et une rétraction est un inverse à gauche (ce sont deux notions duales).

Le concept au sens des catégories de ces notions est particulièrement important en algèbre homologique, et est étroitement lié à la notion de section d'un fibré en topologie.

Toute section est un monomorphisme et toute rétraction est un épimorphisme. Elles sont respectivement appelées[1] split mono et split epi. Même dans le cas de la catégorie des ensembles, il n'y a nullement unicité, par exemple, si $f$ est une surjection mais pas une bijection, on peut construire (en admettant l'axiome du choix) plusieurs sections de $f$ .

Exemples

Soit un espace quotient ${\bar {X}}$ quotienté par l'application $\pi \colon X\to {\bar {X}}$ , une section de $\pi$ est appelée une transversale (en).
Soit ${\mathcal {A}}$ et ${\mathcal {B}}$ deux catégories et $F$ un foncteur covariant de ${\mathcal {A}}$ dans ${\mathcal {B}}$ . Alors, si $u$ est une section (resp. une rétraction) de $v$ , la flèche $F(u)$ est une section (resp. une rétraction) de $F(v)$ [2].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Section (category theory) » (voir la liste des auteurs).

(en) Jaap van Oosten, « Basic Category Theory », sur Université d'Utrecht, 2002, p. 6.
Georges Poitou et Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, p. 66.

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[1] (en) Jaap van Oosten, « Basic Category Theory », sur Université d'Utrecht, 2002, p. 6.

[2] Georges Poitou et Paul Jaffard, Introduction aux catégories et aux problèmes universels, Paris, Ediscience, 1971, p. 66.