Solide de Johnson

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas isogonal (qui n'est donc ni un solide de Platon, ni un solide d'Archimède, ni un prisme ni un antiprisme). Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J1) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

La gyrobicoupole octogonale allongée (J37), un solide de Johnson.
Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro).
Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas convexe.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J2) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être une face d'un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller (en) a démontré en 1969 que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note Jxx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J37) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

  • Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.
  • Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
  • Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.
  • Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
  • Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.
  • Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsqu'elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).

Liste et noms de Johnson

S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F3 triangles,
F4 carrés,
F5 pentagones,
F6 hexagones,
F8 octogones,
F10 décagones.

Prismatoïdes et rotondes
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
1 pyramide carrée pyramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
2 pyramide pentagonale pyramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
3 coupole hexagonale coupole 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
4 coupole octogonale coupole 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
5 coupole décagonale coupole 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
6 rotonde décagonale rotonde 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Pyramides modifiées et dipyramides
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
7 pyramide triangulaire allongée pyramide allongée (en) 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v
8 pyramide carrée allongée pyramide allongée 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v
9 pyramide pentagonale allongée pyramide allongée 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v
10 pyramide carrée gyroallongée pyramide gyroallongée (en) 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v
11 pyramide pentagonale gyroallongée pyramide gyroallongée 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v
12 diamant triangulaire Bipyramide (ou diamant) 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h
13 diamant pentagonal Bipyramide (ou diamant) 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h
14 diamant triangulaire allongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h
15 diamant carré allongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h
16 diamant pentagonal allongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h
17 diamant carré gyroallongé Bipyramide allongée (ou diamant allongé) 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d

Coupoles et rotondes modifiées
  • coupole allongée
  • rotonde allongée
  • birotonde allongée
  • coupole-rotonde allongée
  • bicoupole allongée
  • coupole gyroallongée
  • rotonde gyroallongée
  • bicoupole
  • birotonde
  • coupole-rotonde
  • bicoupole gyroallongée
  • birotonde gyroallongée
  • coupole-rotonde gyroallongée
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
18 coupole hexagonale allongée coupole allongée 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 coupole octogonale allongée coupole allongée 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 coupole décagonale allongée coupole allongée 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 rotonde décagonale allongée rotonde allongée 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 coupole hexagonale gyroallongée coupole gyroallongée 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 coupole octogonale gyroallongée coupole gyroallongée 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 coupole décagonale gyroallongée coupole gyroallongée 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 rotonde décagonale gyroallongée rotonde gyroallongée 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 gyrobiprisme triangulaire bicoupole 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 orthobicoupole hexagonale bicoupole 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 orthobicoupole octogonale bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 gyrobicoupole octogonale bicoupole 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 orthobicoupole décagonale bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 gyrobicoupole décagonale bicoupole 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 orthocoupole-rotonde décagonale coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 gyrocoupole-rotonde décagonale coupole-rotonde 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 orthobirotonde décagonale birotonde 30 60 32 20 0 12 0 0 0 C5v
35 orthobicoupole hexagonale allongée bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 gyrobicoupole hexagonale allongée bicoupole allongée 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 gyrobicoupole octogonale allongée bicoupole allongée 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4h
38 orthobicoupole décagonale allongée bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 gyrobicoupole décagonale allongée bicoupole allongée 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5v
40 orthocoupole-rotonde décagonale allongée coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 gyrocoupole-rotonde décagonale allongée coupole-rotonde allongée 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 orthobirotonde décagonale allongée birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 gyrobirotonde décagonale allongée birotonde allongée 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5v
44 bicoupole hexagonale gyroallongée bicoupole gyroallongée 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3v
45 bicoupole octogonale gyroallongée bicoupole gyroallongée 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4v
46 bicoupole décagonale gyroallongée bicoupole gyroallongée 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5v
47 coupole-rotonde décagonale gyroallongée coupole-rotonde gyroallongée 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5v
48 birotonde décagonale gyroallongée birotonde gyroallongée 40 90 52 40 0 12 0 0 0 C5v

Prismes augmentés
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
49 prisme triangulaire augmenté prisme augmenté 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C2v
50 prisme triangulaire biaugmenté prisme augmenté 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C2v
51 prisme triangulaire triaugmenté prisme augmenté 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D3h
52 prisme pentagonal augmenté prisme augmenté 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C2v
53 prisme pentagonal biaugmenté prisme augmenté 12 23 13 8 3 2 0 0 0 Cs
54 prisme hexagonal augmenté prisme augmenté 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C2h
55 prisme hexagonal parabiaugmenté prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D2h
56 prisme hexagonal métabiaugmenté prisme augmenté 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C2v
57 prisme hexagonal triaugmenté prisme augmenté 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D3h

Solides de Platon modifiés
  • Dodécaèdres augmentés
  • Icosaèdres diminués
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
58 dodécaèdre augmenté dodécaèdre augmenté 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C5v
59 dodécaèdre parabiaugmenté dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 D5v
60 dodécaèdre métabiaugmenté dodécaèdre augmenté 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C2v
61 dodécaèdre triaugmenté dodécaèdre augmenté 23 45 24 15 0 9 0 0 0 C3v
62 icosaèdre métabidiminué icosaèdre diminué 10 20 12 10 0 2 0 0 0 C2v
63 icosaèdre tridiminué icosaèdre diminué 9 15 8 5 0 3 0 0 0 C3v
64 icosaèdre tridiminué augmenté icosaèdre diminué 10 18 10 7 0 3 0 0 0 C3v

Solides d'Archimède modifiés
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
65 tétraèdre tronqué augmenté tétraèdre tronqué augmenté 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 cube tronqué augmenté cube tronqué augmenté 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 cube tronqué biaugmenté cube tronqué augmenté 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 dodécaèdre tronqué augmenté dodécaèdre tronqué augmenté 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 dodécaèdre tronqué parabiaugmenté dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5v
70 dodécaèdre tronqué métabiaugmenté dodécaèdre tronqué augmenté 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 dodécaèdre tronqué triaugmenté dodécaèdre tronqué augmenté 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 gyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 parabigyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5v
74 métabigyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 trigyro-rhombicosidodécaèdre rhombicosidodécaèdre gyré 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 rhombicosidodécaèdre diminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué rhombicosidodécaèdre diminué 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 rhombicosidodécaèdre parabidiminué rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5v
81 rhombicosidodécaèdre métabidiminué rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué rhombicosidodécaèdre diminué 50 90 42 10 20 10 0 0 2 Cs
83 rhombicosidodécaèdre tridiminué rhombicosidodécaèdre diminué 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

Divers
Jn Nom du solide Image Type S A F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Symétrie
84 Disphénoïde adouci - 8 18 12 12 0 0 0 0 0 D2v
85 antiprisme carré adouci - 16 40 26 24 2 0 0 0 0 D4v
86 sphéno-couronne - 10 22 14 12 2 0 0 0 0 C2v
87 sphéno-couronne augmentée - 11 26 17 16 1 0 0 0 0 Cs
88 sphénoméga-couronne - 12 28 18 16 2 0 0 0 0 C2v
89 hébesphénoméga-couronne - 14 33 21 18 3 0 0 0 0 C2v
90 disphéno-ceinture - 16 38 24 20 4 0 0 0 0 D2v
91 birotonde bilunaire - 14 26 14 8 2 4 0 0 0 D2h
92 hébesphéno-rotonde triangulaire - 18 36 20 13 3 3 1 0 0 C3v

Références

Liens externes
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