Sommation par parties

Si ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ sont des suites numériques, la formule de sommation par parties s'écrit :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}-a_{k}\right)b_{k}=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k+1}\left(b_{k+1}-b_{k}\right)}$

En effet, d'une part par télescopage,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=(a_{n}b_{n}-a_{0}b_{0})}$

et d'autre part :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k+1}(b_{k+1}-b_{k})+(a_{k+1}-a_{k})b_{k}\right)}$

Le calcul ${\displaystyle (x-1)\sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}=\sum _{k=0}^{n-1}k(x^{k+1}-x^{k}){\overset {formule}{=}}nx^{n}-\sum _{k=0}^{n-1}x^{k+1}=nx^{n}-{\frac {x^{n+1}-x}{x-1}}}$, permet d'écrire :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}kx^{k}={\frac {(n-1)x^{n+1}-nx^{n}+x}{(x-1)^{2}}}}$

La formule d'intégration par parties s'écrit :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,{\rm {d}}x=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,{\rm {d}}x.}$

Si on laisse de côté les conditions aux limites, on s'aperçoit que l'intégration par parties consiste à intégrer une des deux fonctions présentes dans l'intégrale initiale (${\displaystyle f'}$ devient ${\displaystyle f}$) et à dériver l'autre (${\displaystyle g}$ devient ${\displaystyle g'}$).

La sommation par parties consiste en une opération analogue dans un contexte discret, puisque l'une des deux séries est sommée (${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$ devient ${\displaystyle a_{n}}$) et l'autre est différenciée ( ${\displaystyle b_{n}}$devient ${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}}$ ).

On peut considérer la formule sommatoire d'Abel comme une généralisation de ces deux formules.

Soient deux suites ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ et ${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$. Notons, pour tout entier naturel ${\displaystyle N}$

${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}~{\text{ et }}~B_{N}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}}$

les sommes partielles des séries de termes généraux ${\displaystyle a_{n}b_{n}}$ et ${\displaystyle b_{n}}$.

Alors[1] :

${\displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})}$.

Le théorème suivant est une conséquence directe de la formule précédente.

La preuve montre de plus l'inégalité :

${\displaystyle \left|\sum _{n={n_{0}}}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leqslant M\sum _{n\geqslant n_{0}}|a_{n+1}-a_{n}|}$,

pour tout majorant M des |B_n|.

Un cas particulier est le test de Dirichlet, parfois appelé lui aussi « théorème d'Abel »[2] :

Si la suite ${\displaystyle (a_{n})}$ est monotone et de limite nulle et si la suite ${\displaystyle (B_{n})}$ est bornée, alors la série ${\displaystyle \sum a_{n}b_{n}}$ est convergente.

Le critère de convergence des séries alternées en est lui-même un sous-cas : si ${\displaystyle (a_{n})}$ est décroissante et de limite nulle, alors la série ${\displaystyle \sum (-1)^{n}a_{n}}$ est convergente.

1. La suite ${\displaystyle \left({\frac {1}{n}}\right)}$ est monotone et de limite nulle et la série ${\displaystyle \sum \sin n}$ a ses sommes partielles bornées car ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sin k={\frac {\sin {\frac {n}{2}}\sin {\frac {n+1}{2}}}{\sin {\frac {1}{2}}}}}$[3] donc d'après le test de Dirichlet, la série ${\displaystyle \sum {\frac {\sin n}{n}}}$ converge.
2. De même[4], pour tout nombre complexe ${\displaystyle z\neq -1}$ de module 1, la série du logarithme complexe ${\displaystyle \ln \left(1+z\right)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{n}}{n}}}$ converge.
3. La sommation par parties sert dans la preuve du théorème d'Abel sur les séries entières.