Stabilité numérique

Le plus souvent, un calcul peut être conduit de plusieurs manières qui sont algébriquement équivalentes ; dans la pratique toutefois, les résultats différent car les stabilités respectives ne sont pas les mêmes. Un cas classique est la Méthode de Ruffini-Horner pour l’évaluation d’un polynôme, en comparaison avec la méthode naïve et peu efficace consistant à évaluer chaque monôme pour les sommer.

Les méthodes classiques de résolution d’un système linéaire (élimination de Gauss-Jordan, décomposition LU, factorisation de Cholesky pour les matrices définies positives) sont stables.

Cependant, pour de grands systèmes linéaires, l’imprécision des nombreuses opérations de calculs élémentaires séquentiels de ces méthodes peut conduire à des erreurs significatives sur la solution obtenue.

• Si le résultat ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ de ${\displaystyle A\;x=b}$ satisfait ${\displaystyle A\;{\tilde {x}}=b+\Delta b}$ où ${\displaystyle \displaystyle \Delta b}$ est jugé trop important, il faudra déterminer une correction ${\displaystyle \Delta x\;}$ satisfaisant ${\displaystyle A\;\Delta x=-\Delta b}$ afin de poser ${\displaystyle x={\tilde {x}}+\Delta x}$.
• Au lieu de résoudre un second système semblable à l’aide de la même méthode (ce qui serait long et donnerait généralement des résultats médiocres), il est préférable d’entreprendre quelques itérations d’une méthode récursive (méthode du gradient conjugué pour les matrices définies positives ou biconjugué sinon, ou encore la méthode de surrelaxation successive dont l’approche semble être a priori plus simple).

Quelle que soit la méthode de résolution, la précision des résultats obtenus restera médiocre lorsque la matrice ${\displaystyle A}$ est mal conditionnée.

Pour résoudre un problème bien posé décrit par un système d’équations aux dérivées partielles, l’utilisation d’un schéma numérique aux différences finies peut rapidement conduire à des résultats totalement erronés si la stabilité du schéma n’est pas assurée. Un tel phénomène peut se manifester en dépit du fait que le schéma soit parfaitement adapté à représenter les équations du problème d’origine (consistance du schéma numérique).