Suite de composition

La notion de suite de composition est une notion de théorie des groupes. Elle permet, dans un sens qui sera précisé, de considérer un groupe comme « composé » de certains de ses sous-groupes.

Définitions

Soient G un groupe et e son élément neutre. On appelle suite de composition[1] de G toute suite finie (G₀, G₁, …, G_r) de sous-groupes de G telle que

G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.
Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite[2].

Soient Σ₁ = (G₀, G₁, …, G_r) et Σ₂ = (H₀, H₁, …, H_s) deux suites de composition de G. On dit que
- Σ₂ est un raffinement[3] de Σ₁, ou encore que Σ₂ est plus fine[4] que Σ₁, si Σ₁ est extraite de Σ₂, c'est-à-dire s'il existe des indices 0 = j(0) < j(1) … < j(r) = s tels que G_i = H_j(i) pour tout i ∈ {1, …, r – 1}.
- Σ₁ et Σ₂ sont équivalentes[4]^,[5] si r = s et s'il existe une permutation σ de l'ensemble {0, 1, …, r – 1} telle que pour tout i dans cet ensemble, le quotient G_i/G_i+1 soit isomorphe au quotient H_σ(i)/H_σ(i)+1.
Soit Σ = (G₀, G₁, …, G_r) une suite de composition de G. Les trois conditions suivantes sont équivalentes :
a) Σ est strictement décroissante et n'admet pas d'autre raffinement strictement décroissant qu'elle-même ;
b) les quotients de Σ sont tous des groupes simples ;
c) pour tout i ∈ [0, r – 1], G_i+1 est un sous-groupe distingué maximal[6] de G_i (c'est-à-dire un élément maximal, relativement à l'inclusion, de l'ensemble des sous-groupes propres distingués de G_i).
On appelle suite de Jordan-Hölder[7] une suite de composition possédant les propriétés équivalentes a) à c).

Remarque : les auteurs de langue anglaise[8] appellent « composition series » ce qui est appelé ici suite de Jordan-Hölder.

Quelques faits

Pour tout groupe G, la suite (G, {e}) est une suite de composition. C'est une suite de Jordan-Hölder si et seulement si G est simple.
S₃ ⊃ A₃ ⊃ {e} est une suite de Jordan-Hölder.
Théorème de raffinement de Schreier : pour deux suites de composition d'un même groupe, il existe toujours un raffinement de la première et un raffinement de la seconde qui sont équivalents.
On en déduit[9] que si un groupe admet une suite de Jordan-Hölder, toute suite de composition strictement décroissante de ce groupe admet un raffinement qui est une suite de Jordan-Hölder.
Si un groupe résoluble G admet une suite de Jordan-Hölder, chaque groupe quotient de cette suite est à la fois simple et résoluble, donc est cyclique d'ordre premier, et G est donc fini. En particulier, un groupe abélien infini n'admet pas de suite de Jordan-Hölder.
Tout groupe fini admet une suite de Jordan-Hölder[10].
Théorème de Jordan-Hölder : deux suites de Jordan-Hölder d'un même groupe sont toujours équivalentes.

Généralisation aux groupes à opérateurs

Soient G un groupe à opérateurs et e son élément neutre. On appelle suite de composition[11] de G toute suite finie (G₀, G₁, …, G_r) de sous-groupes stables de G telle que

G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \ldots \supseteq G_{r}=\{e\}

et que, pour tout i ∈ {0, 1, …, r – 1}, G_i+1 soit sous-groupe normal de G_i.
Les quotients G_i/G_i+1 sont appelés les quotients de la suite[2].

Une suite principale d'un groupe peut être considérée comme une suite de Jordan-Hölder d'un certain groupe à opérateurs.

Notes et références

Définition conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, coll. « éléments de mathématiques », 1970, ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39, ou encore à J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 225, ou encore à S. Lang, Algèbre, 3^e édition révisée, Paris, 2004, p. 19.
Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39-40.
Dénomination conforme à Calais 1984, p. 226.
Dénomination conforme à Bourbaki, op. cit., p. I.40.
(en) D. J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 64, dit « isomorphic ».
Ne pas confondre avec la notion de sous-groupe maximal d'un groupe.
Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 10, p. 41.
Voir par exemple Robinson 1996, p. 65.
Voir par exemple Bourbaki, op. cit., p. I.41-42.
Bourbaki, op. cit., p. I.42.
Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39.

Voir aussi

Chaîne de sous-groupes (en)

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[1] Définition conforme à N. Bourbaki, Algèbre I, Paris, coll. « éléments de mathématiques », 1970, ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39, ou encore à J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 225, ou encore à S. Lang, Algèbre, 3^e édition révisée, Paris, 2004, p. 19.

[Bourbaki39-40-2] Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39-40.

[3] Dénomination conforme à Calais 1984, p. 226.

[BourbakiI40-4] Dénomination conforme à Bourbaki, op. cit., p. I.40.

[5] (en) D. J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 64, dit « isomorphic ».

[6] Ne pas confondre avec la notion de sous-groupe maximal d'un groupe.

[7] Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 10, p. 41.

[8] Voir par exemple Robinson 1996, p. 65.

[9] Voir par exemple Bourbaki, op. cit., p. I.41-42.

[10] Bourbaki, op. cit., p. I.42.

[11] Définition conforme à Bourbaki, op. cit., ch. I, § 4, n° 7, déf. 9, p. 39.