Superadditivité

En mathématiques, une suite est dite superadditive si, pour tout m et n, elle satisfait l'inégalité

a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}

Le principal avantage des suites superadditives est qu'elles obéissent au lemme de Michael Fekete[1].

Lemme de Fekete — Pour toute suite superadditive { a_n }, n ≥ 1, la limite de a_n/n existe et est égale à la borne supérieure de a_n/n. (Notons que cette limite peut être l'infini, par exemple, pour la suite a_n = log n!.)

De même, une fonction f est dite superadditive si l'on a

f(x+y)\geq f(x)+f(y)

pour tout x et y dans le domaine de f.

Par exemple, $f(x)=x^{2}$ est une fonction superadditive pour les nombres réels positifs : le carré de $(x + y)$ est toujours supérieur ou égal au carré de $x$ plus le carré de $y$ .

Un lemme analogue à celui de Fekete existe pour les fonctions. Il y a aussi des extensions de ce dernier dans des cas moins forts, par exemple si la propriété de super-additivité n'est pas vérifiée sur tout le domaine de la fonction. D'autres résultats permettent de déduire la vitesse de convergence de cette limite si l'on a à la fois des formes de super- et de sous-additivité. Une bonne présentation de ce sujet peut être trouvée dans Steele (1997)[2]^,[3].

Si f est une fonction super additive, et si 0 est dans son domaine, alors f(0) ≤ 0. On a en effet

\forall x,\ f(x)=f(x+0)\geq f(0)+f(x).

L'inverse de la super-additivité d'une fonction est la sous-additivité.

Exemples de fonctions super-additives

Le déterminant est superadditif pour les matrices hermitiennes non négatives, c'est-à-dire, si $A,B\in M_{n}(\mathbb {C} )$ sont des matrices hermitiennes positives, on a : $\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B)$ .

C'est une conséquence du théorème du déterminant de Minkowski, il montre en effet de manière générale que $A\mapsto \det(A)^{1/n}$ est super-additif (c'est-à-dire concave)[4] pour des matrices hermitiennes de taille n on a

\det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}

pour des matrices non-négatives.

Horst Alzer a prouvé [5] que la fonction gamma de Hadamard est superadditive pour tous nombres réels x, y avec x, y ≥ 1.5031.

Références

M. Fekete, « Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten », Mathematische Zeitschrift, vol. 17, n^o 1,‎ 1923, p. 228–249 (DOI 10.1007/BF01504345)
(en) Michael J. Steele, Probability theory and combinatorial optimization, Philadelphie, SIAM, Philadelphia, 1997, 159 p. (ISBN 0-89871-380-3)
CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization (2011) University of Cambridge.
(en) M. Marcus et H. Minc, « Theorem 4.1.8 », dans A survey in matrix theory and matrix inequalities, vol. 14, Courier Corporation, coll. « Dover », 1992 (présentation en ligne), p. 115.
Horst Alzer, A superadditive property of Hadamard's gamma function, Springer, 2009 (DOI 10.1007/s12188-008-0009-5)

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[1] M. Fekete, « Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten », Mathematische Zeitschrift, vol. 17, n^o 1,‎ 1923, p. 228–249 (DOI 10.1007/BF01504345)

[2] (en) Michael J. Steele, Probability theory and combinatorial optimization, Philadelphie, SIAM, Philadelphia, 1997, 159 p. (ISBN 0-89871-380-3)

[3] CBMS Lectures on Probability Theory and Combinatorial Optimization (2011) University of Cambridge.

[4] (en) M. Marcus et H. Minc, « Theorem 4.1.8 », dans A survey in matrix theory and matrix inequalities, vol. 14, Courier Corporation, coll. « Dover », 1992 (présentation en ligne), p. 115.

[5] Horst Alzer, A superadditive property of Hadamard's gamma function, Springer, 2009 (DOI 10.1007/s12188-008-0009-5)