Symbole delta de Kronecker
En mathématiques, le symbole delta de Kronecker[1],[2], également appelé symbole de Kronecker[3],[4],[5],[6] ou delta de Kronecker[7],[8],[6],[9], est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.
« Symbole de Kronecker » redirige ici. Pour le symbole de Kronecker utilisé en théorie des nombres, voir Symbole de Kronecker (théorie des nombres).
ou, en notation tensorielle :
où δi et δj sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).
Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :
Histoire
L'éponyme du symbole de Kronecker[10],[11],[12] est le mathématicien Leopold Kronecker (-) qui l'a introduit en [13],[14],[15].
Exemples
Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :
- en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire : ;
- lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications :
Notes et références
- Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.
- Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.
- Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.
- Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.
- Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.
- Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.
- Frey 2006, chap. 1er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.
- Penrose 2007, p. 251.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.
- Diu 2010, 5e part., chap. 17, p. 229.
- Frey 2006, chap. 1er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.
- Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.delta [δ], 3, p. 193, col. 1.
- Cooke 2017, 1re part., chap. 2, sect. 10, § 10.2, p. 108, n. 11.
- Hawkins 1977, p. 136, n. 11.
- Kuptsov 1990, p. 309, col. 1.
Voir aussi
Bibliographie
- [Cooke 2017] (en) R. Cooke, It's about time : elementary mathematical aspects of relativity [« Aspects mathématiques élémentaires de la relativité »], Providence, AMS, monogr. hors coll. (no 102), , 1re éd., 1 vol., XIX-403, 18,4 × 25,4 cm (ISBN 978-1-4704-3483-0 et 978-2-88915-009-0, EAN 9781470434830, OCLC 987376376, DOI 10.1090/mbk/102, SUDOC 200727192, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Frey 2006] F. Frey, Mécanique des solides, Lausanne, PPUR, coll. « Traité de génie civil de l'École polytechnique fédérale de Lausanne / Analyse des structures et milieux continus » (no 3), (réimpr. 2006), 1re éd., 1 vol., XII-192, ill., 19 × 24 cm (EAN 9782880743581, OCLC 468099866, BNF 36971146, SUDOC 008236720, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1er, sect. 1.7, § 1.7.3 (« Symbole de Kronecker »), p. 7-8
- [Hawkins 1977] (en) Th. Hawkins, « Weierstrass and the theory of matrices » [« Weierstrass et la théorie des matrices »], Arch. Hist. Exact Sci., vol. 17, no 2, , art. no 2, p. 119-163 (DOI 10.1007/BF02464978, JSTOR 41133484).
- [Penrose 2007] R. Penrose (trad. de l'angl. par C. Laroche), À la découverte des lois de l'Univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », , 1re éd., 1 vol., XXII-1061, ill. et fig., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, BNF 41131526, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).
Ouvrages de vulgarisation
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Dictionnaires et encyclopédies
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- [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., , 4e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.
Manuels et notes de cours
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- [Crépieux 2019] A. Crépieux, Introduction à la physique de la matière condensée : propriétés électroniques (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », , 1re éd., 1 vol., XII-276, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-078944-3, EAN 9782100789443, OCLC 1085246645, BNF 45664071, SUDOC 233879323, présentation en ligne, lire en ligne).
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- [Heyvaerts 2012] J. Heyvaerts, Astrophysique : étoiles, univers et relativité (cours et exercices corrigés), Paris, Dunod, coll. « Sciences Sup. », , 2e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-384, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-058269-3, EAN 9782100582693, OCLC 816556703, BNF 42740481, SUDOC 163817030, présentation en ligne, lire en ligne).
- [Semay et Silvestre-Brac 2016] C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », , 3e éd. (1re éd. ), 1 vol., X-309, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074703-0, EAN 9782100747030, OCLC 945975983, BNF 45019762, SUDOC 192365681, présentation en ligne, lire en ligne).
Article original
- (de) L. Kronecker, « Über bilineare Formen », Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie zu Berlin, , p. 597-612.
- (de) L. Kronecker, « Ueber bilineare Formen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 68, , p. 273-285 (lire en ligne).