Synchronisation d'Einstein

Il existe de nombreuses procédures de synchronisation équivalentes, fondées sur l'hypothèse de la relativité restreinte que la vitesse de la lumière est une constante universelle, égale dans toutes les directions et dans tous les référentiels, et utilisant des signaux lumineux.

Une étant : on convient que deux horloges identiques et immobiles dans un référentiel inertiel, donc l'une par rapport à l'autre, sont synchronisées si, plaçant une source lumineuse à égale distance des deux horloges, les horloges indiquent la même heure, vue de la source, quand elles sont atteintes par le flash lumineux[3]^,[4]. L'immobilité des horloges, l'une par rapport à l'autre, fait qu'elles restent synchronisées au cours du temps[3].

Une autre procédure, équivalente et plus proche de la définition originale d'Einstein, consiste pour une horloge ${\displaystyle H_{S}}$ à synchroniser à émettre un flash lumineux vers une horloge de référence ${\displaystyle H_{R}}$. Le flash lumineux, réfléchi immédiatement par ${\displaystyle H_{R}}$, revient à ${\displaystyle H_{S}}$ au bout d'un temps ${\displaystyle T}$, mesuré par ${\displaystyle H_{S}}$. Pour synchroniser ${\displaystyle H_{S}}$, il suffit de la régler à l'heure reçue de ${\displaystyle H_{R}}$, à laquelle on ajoute ${\displaystyle {\frac {T}{2}}}$ qui est le temps de transport de l'information par la lumière.

Ces procédures fondées sur des signaux évitent le déplacement des horloges et les problèmes associés de dilatation du temps qui affectent la marche des horloges et leur synchronisation, notamment du fait des accélérations nécessaires pour la mise en mouvement, accélérations dont les effets sont mal gérés par la relativité restreinte.

On peut ainsi définir la synchronisation, de proche en proche, d'un ensemble d'horloges et donc définir un concept de simultanéité en tout point d'un référentiel inertiel. "Être synchronisé à" est une relation d'équivalence et la classe d'équivalence correspondante est le "temps t du référentiel R" dans lequel les horloges sont immobiles[3]. Plus précisément, la synchronisation d'Einstein possède les propriétés suivantes :

• la synchronisation est réflexive : toute horloge est synchronisée avec elle-même.
• la synchronisation est symétrique : si une horloge A est synchronisée avec une horloge B, alors l'horloge B est synchronisée avec l'horloge A.
• la synchronisation est transitive : si une horloge A est synchronisée avec une horloge B, et que celle-ci est synchronisée avec une horloge C, alors l'horloge A est synchronisée avec l'horloge C.

Vouloir synchroniser les horloges d'un référentiel en relativité générale, sans plus de précision, revient à vouloir synchroniser des horloges réparties dans un référentiel quelconque par la même méthode qu'en relativité restreinte. Dans le cas général, ce n'est réalisable que dans un volume infiniment petit ou le long d'une courbe ouverte, mais pas le long d'une courbe fermée car un tour complet de cette courbe induit une différence de synchronisation de la même manière que le transport parallèle le long d'une boucle fermée induit un déplacement du vecteur tangent initial. Ces difficultés font que la datation des événements un peu éloignés de l'observateur est délicate (tout comme la détermination des coordonnées spatiales) : la datation est liée au système de coordonnées conventionnellement choisi, déterminer le temps propre d'un corps éloigné de l'observateur nécessite d'avoir de nombreuses informations sur le champ de gravitation et sur son évolution, et la notion de simultanéité n'est pas transitive (Si A et B sont des événements simultanés, et que B et C aussi, alors A et C ne le sont pas, en général)[8].

Ces limitations ne sont pas dues à l'espace-temps mais au choix du référentiel : pour que les horloges soient synchronisables, il faut que dans la métrique ${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}.dx^{i}.dx^{j}}$ on ait[8] ${\displaystyle g_{01}=g_{02}=g_{03}=0}$. Par exemple, en tout point de l'espace il est possible de choisir un référentiel synchrone, où la coordonnée temps correspond au temps propre en chaque point de l'espace, les lignes du temps en chaque point de l'espace sont des géodésiques de l'espace-temps et les équations d'Einstein sont un peu simplifiées[9].

Einstein, dans son article de 1905, s'exprime ainsi :

« Si un observateur stationne en A avec une horloge, il lui est possible d'estimer le temps des évènements apparaissant dans le voisinage immédiat de A, en regardant la position des aiguilles de l'horloge, qui sont synchrones avec l'évènement. Si un observateur est stationné en B avec une horloge, — nous pouvons supposer que l'horloge est de même modèle que celle de A, — il peut estimer le temps des évènements apparaissant au voisinage de B. Mais sans autre hypothèse, il n'est pas possible de comparer, tant que le temps est concerné, les évènements apparaissant en B avec ceux de A. Nous avons donc un temps-A et un temps-B, mais pas de temps commun à A et à B. Ce temps commun peut être défini si nous disons que par définition le temps que met la lumière pour aller de A à B est le même que le temps mis par la lumière pour aller de B à A. Par exemple un rayon de lumière émis de A au temps-A, ${\displaystyle t_{A}}$, vers B arrive et est réfléchi en B au temps-B, ${\displaystyle t_{B}}$, et revient en A au temps-A, ${\displaystyle t_{A}'}$. Par définition, les deux horloges sont synchronisées si ${\displaystyle t_{B}-t_{A}=t_{A}'-t_{B}.}$

Nous supposons que cette définition du synchronisme est possible sans provoquer aucune inconsistance, pour tout nombre de points ; les relations suivantes en résultent:

• 1. Si l'horloge en B est synchrone avec l'horloge en A, alors l'horloge en A est synchrone avec l'horloge en B.

• 2. Si l'horloge en A ainsi que l'horloge en B sont toutes les deux synchrones avec l'horloge en C, alors les horloges en A et B sont synchrones.

Donc avec l'aide de certaines expériences physiques, nous avons établi ce que nous entendons quand nous parlons d'horloges au repos en différents endroits, et synchrones avec une autre ; et par conséquent nous sommes arrivés à une définition du synchronisme et du temps.

En accord avec l'expérience nous supposerons que le rapport ${\displaystyle {\frac {2AB}{t_{A}'-t_{A}}}=c}$ où ${\displaystyle c}$ est une constante universelle.

Nous avons défini le temps essentiellement avec une horloge au repos dans un repère stationnaire. En raison de cette dépendance au repère stationnaire, nous dirons que le temps défini de cette manière est « le temps du repère stationnaire ». »