Système de Garside

Un système de Garside est la donnée d'un couple ${\displaystyle (M,\Delta )}$ où

1. ${\displaystyle M}$ est un monoïde simplifiable, sans élément inversible autre que 1 et admettant des PPCM et des PGCD (pour la divisibilité) ;
2. ${\displaystyle \Delta }$ est un élément de Garside :
   • ${\displaystyle {\rm {{Div}_{L}\ \Delta ={\rm {{Div}_{R}\ \Delta }}}}}$ (et on écrit par la suite ${\displaystyle {\rm {{Div}\ \Delta }}}$ pour cet ensemble) ;
   • ${\displaystyle {\rm {{Div}\ \Delta }}}$ engendre ${\displaystyle M}$ ;
   • ${\displaystyle {\rm {{Div}\ \Delta }}}$ est fini.

où ${\displaystyle {\rm {{Div}_{L}\ \Delta }}}$ (resp. ${\displaystyle {\rm {{Div}_{R}\ \Delta }}}$) désigne l'ensemble des diviseurs à gauche (resp. à droite) de ${\displaystyle \Delta }$.

Le monoïde des tresses à trois brins ${\displaystyle B_{3}^{+}}$ présenté par ${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2};\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle ^{+}}$ et l'élément ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}}$ forment un système de Garside.

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