Système sénaire

Un système sénaire est un système de numération de base six.

La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 64₁₀ = 144₆, 144₁₀ = 400₆.

Notation

Numéro de puissance

Les nombres sénaire n'utilisent que six chiffres, l'augmentation des chiffres est plus rapide que les autres bases. Mais, les exposants de deux et trois sont égaux, cela peut être exprimé par : 10₍₆₎ⁿ = 2₍₆₎ⁿ × 3₍₆₎ⁿ.

En particulier, six et dix ont la même structure dont les facteurs premiers ont les mêmes exposants. Aussi, six à la 4n-ième puissance (10⁴ⁿ) est proche de dix à la 3n-ième puissance (14³ⁿ). Par exemple:

1.0000₍₆₎ = 1.296₍₁₀₎ (équivalent à kilo)
1.0000.0000₍₆₎ = 1.679.616₍₁₀₎ (équivalent à méga)
1.0000.0000.0000₍₆₎ = 2.176.782.336₍₁₀₎ (équivalent à giga)
1.0000.0000.0000.0000₍₆₎ = 2.821.109.907.456₍₁₀₎ (équivalent à tera)

Factorisation des nombres premiers de base

Sénaire : 10 = 2×3
Décimal : 10 = 2×5
Duodécimal : 10 = 2²×3
Vicésimal : 10 = 2²×5

puissance de six par la notation sénaire
Exponent	Sénaire	Equivalent en décimal	Equivalent en duodécimal	Equivalent en vicésimal
1	10	6	6	6
2	100	6² = 36	6² = 30	6² = 1G
3	1 000	6³ = 216	6³ = 160	6³ = AG
4	10 000	6⁴ = 1 296	6⁴ = 900	6⁴ = 34G
5	100 000	6⁵ = 7 776	6⁵ = 4 600	6⁵ = J8G
10	1 000 000	6⁶ = 46 656	6⁶ = 23 000	6⁶ = 5 GCG
11	10 000 000	6⁷ = 279 936	6⁷ = 116 000	6⁷ = 1E JGG
12	100 000 000	6⁸ = 1 679 616	6⁸ = 690 000	6⁸ = A9 J0G
13	1 000 000 000	6⁹ = 10 077 696	6⁹ = 3 460 000	6⁹ = 32J E4G
14	10 000 000 000	6¹⁰ = 60 466 176	6^A = 18 300 000	6^A = IHI 58G
15	100 000 000 000	6¹¹ = 362 797 056	6^B = A1 600 000	6^B = 5 D79 CCG
20	1 000 000 000 000	6¹² = 2 176 782 336	6¹⁰ = 509 000 000	6^C = 1E 04H FGG
21	10 000 000 000 000	6¹³ = 13 060 694 016	6¹¹ = 2 646 000 000	6^D = A4 196 F0G
22	100 000 000 000 000	6¹⁴ = 78 364 164 096	6¹² = 13 230 000 000	6^E = 314 8G0 A4G
23	1 000 000 000 000 000	6¹⁵ = 470 184 984 576	6¹³ = 77 160 000 000	6^F = I76 CG3 18G
24	10 000 000 000 000 000	6¹⁶ = 2 821 109 907 456	6¹⁴ = 396 900 000 000	6^G = 5 A3J GGI 8CG
25	100 000 000 000 000 000	6¹⁷ = 16 926 659 444 736	6¹⁵ = 1 A94 600 000 000	6^H = 1D 13J 11A BGG
30	1 000 000 000 000 000 000	6¹⁸ = 101 559 956 668 416	6¹⁶ = B 483 000 000 000	6^I = 9I 73E 693 B0G

Du sénaire au décimal

Voici les premiers nombres de 1 à 40 et de 91 à 110 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.

Sénaire	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25	30	31	32
Décimal	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Sénaire	33	34	35	40	41	42	43	44	45	50	51	52	53	54	55	100	101	102	103	104
Décimal	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40

Sénaire	231	232	233	234	235	240	241	242	243	244	245	250	251	252	253	254	255	300	301	302
Décimal	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110

Sénaire exprime six comme "10", neuf (9) comme "13" à savoir "six plus trois", dix (décimal 10) comme "14" à savoir "six plus quatre", douze (décimal 12) comme "20" à savoir "deux six", seize (décimal 16) comme "24" à savoir "deux six et quatre".

Les chiffres des multiples de trois se terminent par 3 ou 0, par exemple décimal 18 (dix-huit) est exprimée en "30" (trois six), décimal 15 (dix et cinq) est exprimée en "23" (deux six et trois), décimal 27 (deux dix et sept) est exprimée en "43" (quatre six et trois).

Numéros de plus de 100 (décimal 36), par exemple décimal 81 est exprimée en "213" pour dire "deux des six carrés, six et trois", décimal 100 est exprimée en "244" pour dire "deux des six carrés, quatre six et quatre".

Décomposition de la notation

8₁₀ = 12₆ = 1×6 + 2
10₁₀ = 14₆ = 1×6 + 4
12₁₀ = 20₆ = 2×6
27₁₀ = 43₆ = 4×6 + 3
30₁₀ = 50₆ = 5×6
36₁₀ = 100₆ = 1×6²
49₁₀ = 121₆ = 1×6² + 2×6¹ + 1
56₁₀ = 132₆ = 1×6² + 3×6¹ + 2
64₁₀ = 144₆ = 1×6² + 4×6¹ + 4
81₁₀ = 213₆ = 2×6² + 1×6¹ + 3
100₁₀ = 244₆ = 2×6² + 4×6¹ + 4
108₁₀ = 300₆ = 3×6²
125₁₀ = 325₆ = 3×6² + 2×6¹ + 5
144₁₀ = 400₆ = 4×6²
175₁₀ = 451₆ = 4×6² + 5×6¹ + 1
180₁₀ = 500₆ = 5×6²
216₁₀ = 1000₆ = 1×6³
256₁₀ = 1104₆ = 1×6³ + 1×6² + 0×6¹ + 4
569₁₀ = 2345₆ = 2×6³ + 3×6² + 4×6¹ + 5
729₁₀ = 3213₆ = 3×6³ + 2×6² + 1×6¹ + 3
1000₁₀ = 4344₆ = 4×6³ + 3×6² + 4×6¹ + 4
1024₁₀ = 4424₆ = 4×6³ + 4×6² + 2×6¹ + 4
1080₁₀ = 5000₆ = 5×6³
1296₁₀ = 10000₆ = 1×6⁴
1944₁₀ = 13000₆ = 1×6⁴ + 3×6³
2000₁₀ = 13132₆ = 1×6⁴ + 3×6³ + 1×6² + 3×6¹ + 2
5000₁₀ = 35052₆ = 3×6⁴ + 5×6³ + 0×6² + 5×6¹ + 2
6561₁₀ = 50213₆ = 5×6⁴ + 0×6³ + 2×6² + 1×6¹ + 3

Exemples d'opérations arithmétiques
Décimal	Sénaire
1944 + 56 = 2000	13000 + 132 = 13132
100 - 64 = 36	244 - 144 = 100
16 × 81 = 1296	24 × 213 = 10000
1080 ÷ 27 = 40	5000 ÷ 43 = 104
64 / 144 = 4 / 9	144 / 400 = 4 / 13
3⁸ = 6561	3¹² = 50213
24 = 2³×3	40 = 2³×3

Date et heure
Événement	Décimal	Sénaire
La mort d'Alfred Nobel	10 / 12 / 1896	14 / 20 / 12440
Bombardement atomique d'Hiroshima	6 / 8 / 1945	10 / 12 / 13001
Attentats du 11 septembre 2001	11 / 9 / 2001	15 / 13 / 13133

Du décimal au sénaire

Voici quelques points de repère.

Décimal	1	2	3	4	5	6	7	8	9	12	15	18	24	27	30	36
Sénaire	1	2	3	4	5	10	11	12	13	20	23	30	40	43	50	100

Décimal	42	54	72	108	144	162	180	216	324	432	648	972	1080	1296	1944	2592
Sénaire	110	130	200	300	400	430	500	1000	1300	2000	3000	4300	5000	10000	13000	20000

Comme cela sera décrit en détail dans la section sur les fractions, le déplacement à chiffre supérieur des nombres sénaires a une relation de "quatre à neuf" (4×13 = 100).

Par conséquent, quatre 130 seront 1000, neuf 400 seront 10000, trois quarts de 1000 seront 430, deux neuvièmes de 100 seront 12.

Détection de multiples

Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 2, 4, 0 — sont divisibles par 2.
Tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 3 et 0 — divisibles par 3.
Si les deux derniers chiffres sont un multiple de 4 {04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52, 00} — c'est un multiple de 4. Neuf (13 = 3²) types en tout.
Si la somme des chiffres est un multiple de 5 — c'est un multiple de 5.
Si les deux derniers chiffres sont un multiple de 13 {13, 30, 43, 00} — c'est un multiple de 13 (neuf). 4 (= 2²) types en tout.

(de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 2, 4, 6, 8, 0 sont divisibles par 2; et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 5 et 0 — divisibles par 5.)

Nombre premier

Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5. (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).

Nombres premiers de 1 à 100 (à décimal 36)
- 2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51
Nombres premiers de 101 à 1000 (décimal 37 à 216)
- 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255
- 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551
Nombres composés qui ne sont divisibles ni par 2 ni par 3, de 1 à 1000 (à décimal 216)
- 41, 55, 121, 131, 145, 205, 221, 231, 235, 311, 315, 321, 325, 341, 355, 401, 415, 425, 441, 451, 505, 511, 535, 541, 545, 555

Fractions et divisibilité

Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.

Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal.) Six et dix sont seul nombre pair, un quart est exprimé en deux chiffres après la virgule. Ainsi, système sénaire et décimal, la position de 3 et 5 est inversée. Par exemple, "0,2" est de 1/5 (à savoir deux dixièmes) en décimal, mais 1/3 (à savoir deux sixièmes) en sénaire.

Dans la notation sénaire, réciproques des puissances de 2 sont puissances de 3, réciproques des puissances de 3 sont puissances de 2, la division par des puissances de 2 et 3 devient plus facile que toute notation. Ainsi, les puissances de 3 deviennent dominantes, les puissances de 5 deviennent faibles.

La fraction sénaire ont la caractéristique de "courte répétition" comme étant les mêmes que la fraction décimale. La fraction décimale ont 3^-3 nécessite des répétitions à 3 chiffres, 3^-4 nécessite des répétitions à 9 (= 3^-2) chiffres. Comme ça, la fraction sénaire ont 5^-2 nécessite des répétitions à 5 chiffres. Le nombre dont les répétitions atteint environ vingt-sept est de 3^-5 en décimal (3³, vingt-sept chiffres), 5^-3 en sénaire (5², vingt-cinq chiffres).

Fraction unitaire

Factorisation	Décimal	Sénaire
2	1/2 = 0,5	1/2 = 0,3
3	1/3 = 0,33 répétition	1/3 = 0,2
2²	1/4 = 0,25	1/4 = 0,13
5	1/5 = 0,2	1/5 = 0,11 répétition
2×3	1/6 = 0,166 répétition	1/10 = 0,1
11	1/7 = 0,142857142857 répétition	1/11 = 0,0505 répétition
2³	1/8 = 0,125	1/12 = 0,043
3²	1/9 = 0,11 répétition	1/13 = 0,04
2×5	1/10 = 0,1	1/14 = 0,033 répétition
15	1/11 = 0,0909 répétition	1/15 = 0,03134524210313452421 répétition
2²×3	1/12 = 0,08333 répétition	1/20 = 0,03
21	1/13 = 0,076923076923 répétition	1/21 = 0,024340531215024340531215 répétition
2×11	1/14 = 0,0714285714285 répétition	1/22 = 0,02323 répétition
3×5	1/15 = 0,066 répétition	1/23 = 0,022 répétition
2⁴	1/16 = 0,0625	1/24 = 0,0213
2×3²	1/18 = 0,055 répétition	1/30 = 0,02
2²×5	1/20 = 0,05	1/32 = 0,0144 répétition
2³×3	1/24 = 0,04166 répétition	1/40 = 0,013
5²	1/25 = 0,04	1/41 = 0.0123501235 répétition
3³	1/27 = 0,037037 répétition	1/43 = 0,012
2⁵	1/32 = 0,03125	1/52 = 0,01043
2²×3²	1/36 = 0,0277 répétition	1/100 = 0,01
2³×5	1/40 = 0,025	1/104 = 0,00522 répétition
2⁴×3	1/48 = 0,020833 répétition	1/120 = 0,0043
2×5²	1/50 = 0,02	1/122 = 0,00415304153 répétition
2×3³	1/54 = 0,0185185 répétition	1/130 = 0,004
2¹⁰	1/64 = 0,015625	1/144 = 0,003213
2³×3²	1/72 = 0,01388 répétition	1/200 = 0,003
2⁴×5	1/80 = 0,0125	1/212 = 0,002411 répétition
3⁴	1/81 = 0,012345679012345679 répétition	1/213 = 0,0024
2⁵×3	1/96 = 0,0104166 répétition	1/240 = 0,00213
2²×5²	1/100 = 0,01	1/244 = 0,002054320543 répétition
2²×3³	1/108 = 0,00925925 répétition	1/300 = 0,002
5³	1/125 = 0,008	1/325 = 0,0014211153224043351545031 0014211153224043351545031 répétition
2¹¹	1/128 = 0,0078125	1/332 = 0,0014043
2⁴×3²	1/144 = 0,006944 répétition	1/400 = 0,0013
2⁵×5	1/160 = 0,00625	1/424 = 0,0012033 répétition
2×3⁴	1/162 = 0,0061728395061728395 répétition	1/430 = 0,0012
2¹⁰×3	1/192 = 0,00520833 répétition	1/520 = 0,001043
2³×5²	1/200 = 0,005	1/532 = 0,0010251402514 répétition
2³×3³	1/216 = 0,004629629 répétition	1/1000 = 0,001

Fraction principale

Entrez l'équivalent en décimal entre parenthèses.

Jusqu'aux neuvièmes (sauf septièmes et huitièmes)

1/2 = 0,3
1/3 = 0,2
2/3 = 0,4
1/4 = 0,13 (9/36)
3/4 = 0,43 (27/36)
1/5 = 0.1111…
2/5 = 0.2222…
3/5 = 0.3333…
4/5 = 0.4444…

(1/6)_dix = 1/10 = 0,1
(5/6)_dix = 5/10 = 0,5
(1/9)_dix = 1/13 = 0,04 (4/36)
(2/9)_dix = 2/13 = 0,12 (8/36)
(4/9)_dix = 4/13 = 0,24 (16/36)
(5/9)_dix = 5/13 = 0,32 (20/36)
(7/9)_dix = 11/13 = 0,44 (28/36)
(8/9)_dix = 12/13 = 0,52 (32/36) (approximation de décimal 0,9)

Dixièmes

(1/10)_dix = 1/14 = 0,0333…
(3/10)_dix = 3/14 = 0,1444…
(7/10)_dix = 11/14 = 0,4111…
(9/10)_dix = 13/14 = 0,5222…

Douzièmes (1 / 2²×3)

(1/12)_dix = 1/20 = 0,03 (3/36)
(5/12)_dix = 5/20 = 0,23 (15/36)
(7/12)_dix = 11/20 = 0,33 (21/36)
(11/12)_dix = 15/20 = 0,53 (33/36)

Dix-huitièmes (1 / 2×3²)

(1/18)_dix = 1/30 = 0,02 (3/36)
(5/18)_dix = 5/30 = 0,14 (10/36)
(7/18)_dix = 11/30 = 0,22 (14/36)
(11/18)_dix = 15/30 = 0,34 (22/36)
(13/18)_dix = 21/30 = 0,42 (26/36)
(17/18)_dix = 25/30 = 0,54 (34/36)

Huitièmes (2^-3)

(1/8)_dix = 1/12 = 0,043 (27/216)
(3/8)_dix = 3/12 = 0,213 (81/216)
(5/8)_dix = 5/12 = 0,343 (135/216)
(7/8)_dix = 11/12 = 0,513 (189/216)

Vingt-septièmes (3^-3)

(1/27)_dix = 1/43 = 0,012 (8/216)
(2/27)_dix = 2/43 = 0,024 (16/216)
(4/27)_dix = 4/43 = 0,052 (32/216)
(5/27)_dix = 5/43 = 0,104 (40/216)
(7/27)_dix = 11/43 = 0,132 (56/216)
(8/27)_dix = 12/43 = 0,144 (64/216)
(approximation de décimal 0,3)
(10/27)_dix = 14/43 = 0,212 (80/216)　
(11/27)_dix = 15/43 = 0,224 (88/216)
(approximation de décimal 0,4)
(13/27)_dix = 21/43 = 0,252 (104/216)
(14/27)_dix = 22/43 = 0,304 (112/216)

(16/27)_dix = 24/43 = 0,332 (128/216)
(approximation de décimal 0,6)
(17/27)_dix = 25/43 = 0,344 (136/216)
(19/27)_dix = 31/43 = 0,412 (152/216)
(approximation de décimal 0,7)
(20/27)_dix = 32/43 = 0,424 (160/216)
(22/27)_dix = 34/43 = 0,452 (176/216)
(23/27)_dix = 35/43 = 0,504 (184/216)
(25/27)_dix = 41/43 = 0,532 (200/216)
(26/27)_dix = 42/43 = 0,544 (208/216)

Exemple de calcul

1/2, 1/4

Décimal : 49 ÷ 2 = 24,5
Sénaire : 121 ÷ 2 = 40,3
Décimal : 49 ÷ 4 = 12,25
Sénaire : 121 ÷ 4 = 20,13

1 / 2³ (1/8 en décimal)

Décimal : 27 ÷ 8 = 3,375
Sénaire : 43 ÷ 12 = 3,213
Décimal : 100 ÷ 8 = 12,5
Sénaire : 244 ÷ 12 = 20,3

1/3

Octal : 100 ÷ 3 = 25,2525…
Sénaire : 144 ÷ 3 = 33,2
Décimal : 100 ÷ 3 = 33,3333…
Sénaire : 244 ÷ 3 = 53,2
Hexadécimal : 100 ÷ 3 = 55,5555…
Sénaire : 1104 ÷ 3 = 221,2

1/9, 1/100 en sénaire (1/36 en décimal)

Octal : 100 ÷ 11 = 7,0707…
Sénaire : 144 ÷ 13 = 11,04
Décimal : 1000 ÷ 9 = 111,1111…
Sénaire : 4344 ÷ 13 = 303,04
Hexadécimal : 100 ÷ 9 = 1C,71C71C…
Sénaire : 1104 ÷ 13 = 44,24
Décimal : 19 ÷ 36 = 0,52777…
Sénaire : 31 ÷ 100 = 0,31

1 / 3³ (1/27 en décimal), 1/1000 en sénaire (1/216 en décimal)

Décimal : 8 ÷ 27 = 0,296296…
Sénaire : 12 ÷ 43 = 0,144
Décimal : 100 ÷ 27 = 3,703703…
Sénaire : 244 ÷ 43 = 3,412
Hexadécimal : 100 ÷ 1B = 9.7B425ED097B425ED09…
Décimal : 256 ÷ 27 = 9,481481…
Sénaire : 1104 ÷ 43 = 13,252
Décimal : 125 ÷ 216 = 0,578703703…
Sénaire : 325 ÷ 1000 = 0,325

1/5

Octal : 100 ÷ 5 = 14.63146314…
Décimal : 64 ÷ 5 = 12,8
Sénaire : 144 ÷ 5 = 20,4444…
Hexadécimal : 100 ÷ 5 = 33,3333…
Décimal : 256 ÷ 5 = 51,2
Sénaire : 1104 ÷ 5 = 123,1111…

1 / 5² (1/25 en décimal), 1/100 en décimal

Décimal : 8 ÷ 25 = 0,32
Sénaire : 12 ÷ 41 = 0,1530415304…
Hexadécimal : 100 ÷ 19 = A.3D70A3D70A…
Décimal : 256 ÷ 25 = 10,24
Sénaire : 1104 ÷ 41 = 14,1235012350…
Décimal : 53 ÷ 100 = 0,53
Sénaire : 125 ÷ 244 = 0,310251402514…

1 / 2⁴ (1/16 en décimal)

Décimal : 11 ÷ 16 = 0,6875
Sénaire : 15 ÷ 24 = 0,4043
Décimal : 2023 ÷ 16 = 126,4375
Sénaire : 13211 ÷ 24 = 330,2343
Décimal : 6561 ÷ 16 = 410,0625
Sénaire : 50213 ÷ 24 = 1522,0213

1 / 3⁴ (1/81 en décimal)

Décimal : 32 ÷ 81 = 0,395061728395061728…
Sénaire : 52 ÷ 213 = 0,2212
Décimal : 256 ÷ 81 = 3,160493827160493827…
Sénaire : 1104 ÷ 213 = 3,0544
Décimal : 625 ÷ 81 = 7,716049382716049382…
Sénaire : 2521 ÷ 213 = 11,4144

Dans les langues naturelles

Les cultures qui comptent en base 6 sont rares. L'examen du développement des systèmes de numération suggère une limite de numérosité à la valeur 6, conceptualisé comme formant un tout, « le poing », « au-delà des cinq doigts »[1]. Les chiffres 1 à 6 sont alors des formes pures et les nombres qui suivent sont construits ou sont des emprunts[2].

La langue ndom de Papouasie-Nouvelle-Guinée utilise un système sénaire[3].

Système sénaire du ndom
Numéral	Sénaire	Décimal	Traduction
mer	10	6	6
mer an thef	20	12	6 × 2
nif	100	36	6²
nif thef	200	72	6² × 2

Dans les langues morehead-maro, le système de numération est lié à des rituels de comptage d'ignames[4]. Ces langues comptent sur une base six et ont des termes spécifiques pour les puissances de six ; jusqu'à 10¹⁰ = 1 000 000 en sénaire c'est-à-dire 6⁶ = 46 656 en décimal, dans certaines de ces langues.

Système sénaire du kómnzo
Numéral	Sénaire	Décimal
nimbo	10	6
féta	100	36
tarumba	1000	216
ntamno	10000	1296
wärämäkä	100000	7776
wi	1000000	46656

Certaines langues nigéro-congolaises utilisent un système sénaire, en complément d'un autre système (décimal ou vigésimal)[2]. Le proto-ouralien aurait utilisé un système sénaire, le chiffre 7 aurait été emprunté tardivement, bien que la construction des grands chiffres (8 et 9) par soustraction à partir de 10 suggère une autre hypothèse[2].

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page de Wikipédia en anglais intitulée « Senary » (voir la liste des auteurs).

Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, n^o 1,‎ 3 mai 2018, p. 87–101 (DOI 10.1086/430579, JSTOR 10.1086/430579)
« Archived copy » [archive du 6 avril 2016] (consulté le 27 août 2014)
(en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, n^o 1,‎ 2001, p. 47–71 (DOI 10.1007/BF03217098, lire en ligne [archive du 26 septembre 2015])
(en-US) « How to count to 1296 in Ngkolmpu – MORPH », sur morph.surrey.ac.uk (consulté le 25 juin 2018)

Lien externe

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[1] Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, n^o 1,‎ 3 mai 2018, p. 87–101 (DOI 10.1086/430579, JSTOR 10.1086/430579)

[plankS-2] « Archived copy » [archive du 6 avril 2016] (consulté le 27 août 2014)

[3] (en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, n^o 1,‎ 2001, p. 47–71 (DOI 10.1007/BF03217098, lire en ligne [archive du 26 septembre 2015])

[4] (en-US) « How to count to 1296 in Ngkolmpu – MORPH », sur morph.surrey.ac.uk (consulté le 25 juin 2018)