Courant triphasé

Un système de grandeurs triphasées, généralement des tensions ou des courants électriques, peut se décrire par les équations suivantes, où ${\displaystyle t}$ représente le temps.

${\displaystyle g_{1}=G_{1}\sin(\omega t+\varphi _{1})}$

${\displaystyle g_{2}=G_{2}\sin(\omega t+\varphi _{1}-{\tfrac {2}{3}}\pi )}$

${\displaystyle g_{3}=G_{3}\sin(\omega t+\varphi _{1}-{\tfrac {4}{3}}\pi )}$

Un système de grandeurs (tensions ou courants) triphasées est dit équilibré si les trois grandeurs, fonctions sinusoïdales du temps, ont la même amplitude : ${\displaystyle G_{1}=G_{2}=G_{3}=G}$

Il est aisé de vérifier qu'en l'occurrence,

${\displaystyle g_{1}+g_{2}+g_{3}=0}$

Dans le cas contraire, le système triphasé est dit déséquilibré, et cette somme n'est plus nulle.

Pour les tensions et les courants on remplace fréquemment l'amplitude par son expression en fonction de la valeur efficace soit :

• ${\displaystyle V_{i}{\sqrt {2}}}$ pour les tensions
• ${\displaystyle I_{i}{\sqrt {2}}}$ pour les courants

Si les trois tensions passent par la valeur 0 dans l'ordre : ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$, ${\displaystyle v_{3}}$, ${\displaystyle v_{1}}$, …, le système triphasé de tensions est dit direct et s'écrit sous la forme :

${\displaystyle v_{1}=V_{1}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{1})}$

${\displaystyle v_{2}=V_{2}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{1}-{\tfrac {2}{3}}\pi )}$

${\displaystyle v_{3}=V_{3}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{1}-{\tfrac {4}{3}}\pi )}$

Si les trois tensions passent par la valeur 0 dans l'ordre : ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{3}}$, ${\displaystyle v_{2}}$, ${\displaystyle v_{1}}$, …, le système triphasé de tensions est dit inverse. Il s'écrit alors sous la forme :

${\displaystyle v_{1}=V_{1}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{1})}$

${\displaystyle v_{2}=V_{2}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\pi )}$

${\displaystyle v_{3}=V_{3}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {4}{3}}\pi )}$

Pour inverser l'ordre des phases, c'est-à-dire passer de l'ordre direct à l'ordre inverse ou réciproquement (par exemple pour inverser le sens de rotation d'un moteur triphasé), il suffit d'inverser le branchement de deux phases.

Tout cela est rigoureusement transposable à un système triphasé de courants.

Les divers conducteurs d'une distribution triphasée peuvent être identifiés grâce à la couleur des câbles qui fait l'objet d'une norme. Malheureusement cette dernière n'est pas internationale et a évolué au cours du temps, ce qui peut être une source de confusion. Il existe des appareils de mesure (testeurs d'installation triphasée) qui permettent de distinguer les différents conducteurs d'une distribution et qui donnent souvent l'ordre des phases.

Les différences de potentiel entre chacune des phases et le neutre constituent un système de tensions triphasées notées généralement V (V_1N, V_2N, V_3N) et appelées tensions simples, tensions étoilées ou tensions de phase. Dans le cas de distributions équilibrées, l'amplitude des tensions de phase est identique.

En définissant la tension max

${\displaystyle V_{max}=V{\sqrt {2}}}$

pour une distribution équilibrée, cela s'écrit encore

${\displaystyle v_{1}=V_{max}e^{j\left(\omega t+\varphi _{1}\right)}}$

${\displaystyle v_{2}=V_{max}e^{j\left(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {2}{3}}\pi \right)}}$

${\displaystyle v_{3}=V_{max}e^{j\left(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {4}{3}}\pi \right)}}$

Dans ces équations, ω est la pulsation, φ_i la phase à l'origine et t le temps.

Dans la plupart des pays européens, la tension efficace de chaque phase est de 230 V nominalement. Sa valeur de crête est alors égale à 325 V.

Les différences de potentiel entre les phases constituent un système de tensions notées généralement U : (U₁₂, U₂₃, U₃₁) et appelées tensions composées ou tensions de ligne.

${\displaystyle u_{ij}=v_{i}-v_{j}=U_{ij}{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi _{ij})}$

Les tensions composées constituent un système de tensions triphasées si et uniquement si le système de tensions simples est un système équilibré. La somme des trois tensions composées est toujours nulle. Il en résulte que la composante homopolaire des tensions entre phases est toujours nulle (voir ci-dessous transformation de Fortescue).

Dans le cas de distributions équilibrées, on a :${\displaystyle U_{12}=U_{23}=U_{31}=U}$

Représentation de Fresnel des tensions simples et composées pour un système équilibré direct.

Représentation schématique des tensions simples et composées. Les chiffres de cet exemple sont donnés pour un réseau triphasé de 400 V entre phases (tensions composées), c'est-à-dire de 230 V entre phases et neutre (tensions simples).

Nous avons reporté sur la figure ci-contre le diagramme de Fresnel des tensions simples et composées délivrées par un système triphasé équilibré direct. L'origine du diagramme représente une tension nulle, celle du neutre. Dans un système équilibré, les tensions simples sont alors celles entre phase et neutre représentées en noir, et les tensions composées celles entre phases représentées en rouge. En observant, par exemple, le triangle isocèle formé par les tensions ${\displaystyle v_{1}}$, ${\displaystyle v_{2}}$ et ${\displaystyle u_{12}}$, nous pouvons remarquer que celui-ci a deux angles aigus de ${\displaystyle \pi /6}$ radians (soit 30 degrés). On peut ainsi exprimer la valeur efficace de la tension composée ${\displaystyle U}$ en fonction de la valeur efficace de la tension simple ${\displaystyle V}$ à travers la relation (que l'on peut obtenir grâce à la formule d'Al-Kashi) :

${\displaystyle U=2\times V\times \cos(\pi /6)={\sqrt {3}}V}$

Il en va de même dans le cas d'un système équilibré indirect.

Par conséquent, dans un système triphasé équilibré, les valeurs efficaces des tensions simples et composées sont reliées par la relation :

Utilisant la notation complexe, le même résultat est obtenu :

${\displaystyle u_{12}=v_{1}-v_{2}=V_{crete}{\sqrt {3}}e^{j\left(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {\pi }{6}}\right)}}$

${\displaystyle u_{23}=v_{2}-v_{3}=V_{crete}{\sqrt {3}}e^{j\left(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {3\pi }{2}}\right)}}$

${\displaystyle u_{31}=v_{3}-v_{1}=V_{crete}{\sqrt {3}}e^{j\left(\omega t+\varphi _{1}+{\tfrac {5\pi }{6}}\right)}}$

avec

${\displaystyle V_{crete}=V{\sqrt {2}}}$

qui lie la tension efficace entre phase et neutre à sa valeur de crête[3].

Les courants de ligne ou courants composés sont notés ${\displaystyle i}$. Les courants qui traversent les éléments récepteurs sont appelés courants de phase ou courants simples et sont notés ${\displaystyle j}$.

Les trois dipôles qui constituent le récepteur triphasé sont reliés à six bornes conventionnellement disposées comme l'indique la figure ci-dessous.

L'avantage de cette disposition est de permettre la réalisation des deux couplages avec des barrettes d'égale longueur, la distance entre deux bornes contiguës étant constante. L'appareil est fourni avec trois barrettes identiques dont la longueur permet un câblage horizontal ou vertical. On doit utiliser ces barrettes de connexion afin de réaliser les couplages désirés :

Le couplage étoile des enroulements (couplage le plus fréquent) s'obtient en plaçant deux barrettes de connexions de la manière suivante :

Les trois bornes restantes seront câblées avec les trois conducteurs de phases.

Les trois bornes reliées ensemble par les deux barrettes constituent un point qui sera au potentiel du neutre. Ce point doit être relié au neutre de la distribution si l'appareil ne présente pas une charge équilibrée, ce qui est le cas par exemple d'une cuisinière électrique. Pour des machines électriques telles que des moteurs triphasés qui présentent une charge équilibrée, on peut faire l'économie du neutre (et donc économiser un conducteur) sans que ses performances ne soient dégradées. Néanmoins, si l'un des pôles varie (usure, mauvais entretien) ou que l'une des phases varie (perturbation sur le réseau de distribution), le moteur présentera un déséquilibre (qui aurait pu être repris par le neutre) qui dégradera les performances du moteur.

Dans un couplage étoile, les courants de ligne et de phase sont les mêmes, aussi on note :

${\displaystyle i=j}$

Le couplage triangle des enroulements s'obtient en plaçant trois barrettes de connexions de la manière suivante :

Un câble de phase est relié ensuite à chaque barrette. Le câble de neutre n'est pas connecté.

Dans un couplage triangle, il est nécessaire de décomposer chaque courant traversant les récepteurs. Ainsi, on a :

${\displaystyle i_{1}=j_{12}-j_{31}}$

${\displaystyle i_{2}=j_{23}-j_{12}}$

${\displaystyle i_{3}=j_{31}-j_{23}}$

Les valeurs efficaces des courants de ligne et de phase sont liés par la relation :

${\displaystyle I={\sqrt {3}}J}$

La plaque signalétique d'un récepteur triphasé précise la valeur de la tension entre phases (tension composée) permettant de l'alimenter.

Exemple

chauffe-eau : 230 V/400 V :

• la première valeur est la tension requise pour câbler le récepteur en triangle ;
• la deuxième valeur est la tension requise pour câbler le récepteur en étoile.

Le théorème de Boucherot impose que cela soit la somme des puissances consommées par chacun des dipôles :

• en étoile : ${\displaystyle P=V_{1}I_{1}\cos \varphi _{1}+V_{2}I_{2}\cos \varphi _{2}+V_{3}I_{3}\cos \varphi _{3}}$ soit, en régime équilibré : ${\displaystyle P=3\cdot VI\cdot \cos \varphi (V;I)}$

• en triangle : ${\displaystyle P=U_{1}J_{1}\cos \varphi _{1}+U_{2}J_{2}\cos \varphi _{2}+U_{3}J_{3}\cos \varphi _{3}}$ soit, en régime équilibré : ${\displaystyle P=3\cdot UJ\cdot \cos \varphi (U;J)}$

• Pour les récepteurs équilibrés et quel que soit le couplage, on peut écrire  : ${\displaystyle P={\sqrt {3}}\cdot UI\cdot \cos \varphi }$.

Remarque : dans ce cas, ${\displaystyle \varphi }$ n'est pas l'angle de phase à l'origine du temps t = 0 seconde, comme noté précédemment, mais le déphasage entre ${\displaystyle {\underline {U}}}$ et ${\displaystyle {\underline {I}}}$. La valeur ${\displaystyle \cos \varphi }$ est appelé facteur de puissance.

Et pour de longs câbles d'alimentation, il est préférable de faire le montage en triangle pour éviter les pics d'intensité dus à la tension réduite d'un montage en Y.

Le transport en triphasé permet d’économiser du câble et de diminuer les pertes par effet Joule : trois fils de phases suffisent (le neutre n'est pas transporté, il est « recréé » au niveau du dernier transformateur). En effet, le déphasage entre deux phases est tel que, pour un système équilibré, la somme des trois courants est supposée nulle (si les trois courants ont la même amplitude, alors ${\displaystyle \cos(x)+\cos(x+{\tfrac {2}{3}}\pi )+\cos(x+{\tfrac {4}{3}}\pi )=0}$). Et donc, en plus de faire l'économie d'un câble sur les longues distances, on économise en prime sur les effets joule (un câble supplémentaire traversé par un courant impliquerait des pertes supplémentaires).

Par rapport à une distribution en monophasé, à tension entre phases identique et même section de câble, la distribution en triphasé permet de « transporter » une puissance ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ fois plus grande. A contrario, en tenant compte du fil de phase supplémentaire, à puissance et tension entre phases égales, le gain en masse de conducteur est de 15 % (courant de phase réduit de ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, donc section des conducteurs réduite d'autant, mais trois conducteurs au lieu de deux).

L'alternateur triphasé s'est imposé dès l'origine (avant 1900) comme le meilleur compromis[4].

Plus de 95 % de l’énergie électrique est générée par des alternateurs synchrones, des machines électromécaniques fournissant des tensions de fréquences proportionnelles à leur vitesse de rotation. Les alternateurs sont moins coûteux et ont un meilleur rendement que les dynamos, machines qui délivrent des tensions continues (95 % au lieu de 85 %). De surcroît, le courant débité par une dynamo doit être prélevé sur le rotor par le biais d'un collecteur de dimensions imposantes, qui joue encore le rôle d'un redresseur mécanique. Les coûts de construction et d'entretien d'un tel collecteur sont notablement plus élevés que ceux du système de bagues d'un alternateur.

Les alternateurs (machines synchrones) triphasés qui produisent l'énergie électrique ont un meilleur rendement et un meilleur rapport poids/puissance qu'un alternateur monophasé de même puissance.

Supposons qu'un alternateur monophasé délivre 1 000 A sous une tension de 1 000 V et de fréquence 50 Hz. L'expression de la puissance délivrée se met sous la forme :

${\displaystyle p(t)=U{\sqrt {2}}\sin(\omega t)\cdot I{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle p(t)=UI\cos \varphi -UI\cos(2\omega t+\varphi )}$

Donc la puissance active délivrée (le premier terme de la somme) est comprise entre 0 et 1 MW (elle dépend du facteur de puissance de la charge), mais la puissance fluctuante (le deuxième terme de la somme) est une puissance sinusoïdale de fréquence 100 Hz et d’amplitude obligatoirement égale à 1 MW. La turbine, du fait de son inertie, tourne avec une vitesse mécanique quasi constante, et donc à chaque instant elle fournit une puissance identique. Ces différences de puissance se traduisent par des oscillations de couple[5] qui sont, en majeure partie, absorbées par l’élasticité de l’arbre de transmission et finissent par provoquer sa destruction.

Pour supprimer cette puissance fluctuante, les alternateurs de grande puissance doivent donc nécessairement produire un système de tensions polyphasées : il faut produire n phases (n ≥ 2) déphasées convenablement dans le temps[5].

Par exemple en diphasé :

${\displaystyle p(t)=U{\sqrt {2}}\sin(\omega t)\cdot I{\sqrt {2}}\sin(\omega t+\varphi )+U{\sqrt {2}}\cos(\omega t)\cdot I{\sqrt {2}}\cos(\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle p(t)=UI\cos \varphi -UI\cos(2\omega t+\varphi )+UI\cos \varphi +UI\cos(2\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle p(t)=2UI\cos \varphi }$

La puissance fluctuante a bien été annulée.

En régime triphasé équilibré :

En triphasé équilibré, on a trois dipôles identiques, si la tension et le courant varient, la puissance instantanée consommée par un dipôle est égale au produit des valeurs instantanées du courant qui le traverse et de la tension à ses bornes. Pour le générateur ou le récepteur comportant les trois dipôles :

${\displaystyle p(t)=u_{1}(t)\cdot i_{1}(t)+u_{2}(t)\cdot i_{2}(t)+u_{3}(t)\cdot i_{3}(t)}$

avec p en watts, u en volts et i en ampères.

Considérons, par exemple, un système triphasé direct. En régime sinusoïdal, ces courants et ces tensions ont pour expression :

${\displaystyle i_{1}(t)=\mathrm {I} _{0}\cdot \cos(\omega t)=\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega t)}$

${\displaystyle u_{1}(t)=\mathrm {U} _{0}\cdot \cos(\omega t+\varphi )=\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle i_{2}(t)=\mathrm {I} _{0}\cdot \cos(\omega t-{\tfrac {2}{3}}\pi )=\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega t-{\tfrac {2}{3}}\pi )}$

${\displaystyle u_{2}(t)=\mathrm {U} _{0}\cdot \cos(\omega t+\varphi -{\tfrac {2}{3}}\pi )=\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega t+\varphi -{\tfrac {2}{3}}\pi )}$

${\displaystyle i_{3}(t)=\mathrm {I} _{0}\cdot \cos(\omega t-{\tfrac {4}{3}}\pi )=\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega t-{\tfrac {4}{3}}\pi )}$

${\displaystyle u_{3}(t)=\mathrm {U} _{0}\cdot \cos(\omega t+\varphi -{\tfrac {4}{3}}\pi )=\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}\cdot \cos(\omega t+\varphi -{\tfrac {4}{3}}\pi )}$

où U_eff et I_eff sont les valeurs efficaces de la tension et du courant, et φ est le déphasage de la tension par rapport au courant engendré au sein d'un des trois dipôles.

En triphasé équilibré les courants et les tensions ont même amplitudes. De même, les trois dipôles constituant un générateur ou un récepteur étant identique, le déphasage ${\displaystyle \varphi }$ entre tension aux bornes d'un dipôle et l'intensité qui le traverse est lui aussi identique pour chacun des trois dipôles. Cela permet des factorisations dans l'expression de la somme des trois puissances ci-dessous :

La puissance active du générateur ou du récepteur est égale à la somme du produit de ces deux grandeurs. Elle a pour expression :

${\displaystyle p(t)=u_{1}(t)\cdot i_{1}(t)+u_{2}(t)\cdot i_{2}(t)+u_{3}(t)\cdot i_{3}(t)=3\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(\varphi )+\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(2\omega t+\varphi )+\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(2\omega t+\varphi -{\tfrac {2}{3}}\pi )+\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(2\omega t+\varphi -{\tfrac {4}{3}}\pi ).}$

Or : ${\displaystyle \mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(2\omega t+\varphi )+\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(2\omega t+\varphi -{\tfrac {2}{3}}\pi )+\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\,\cos(2\omega t+\varphi -{\tfrac {4}{3}}\pi )=0}$

La moyenne de puissance instantanée, appelée puissance active, correspond à la puissance réellement consommée par le dipôle. Le second terme de la somme correspond à la puissance fluctuante dont la valeur moyenne est nulle.

La puissance active vaut :

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\langle p(t)\rangle =3\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }\,\mathrm {I} _{\mathrm {eff} }\cdot \cos(\varphi )}$,

où cos(φ) est le facteur de puissance.

La « puissance fluctuante » est nulle en régime triphasé équilibré.

Le choix qui a été fait pour l'ensemble des réseaux du monde est n = 3.

• Jonas Wenström
• Courant monophasé
• Théorème de Kennelly

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