Tableau de signes

Exemple 2 : soit l'inéquation ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x\geqslant -8\,}$.

Pour résoudre ce type d'inéquations par tableau de signes, on regroupe tout dans le premier membre pour avoir zéro dans le second puis on factorise le premier membre obtenu.

Ceci grâce à la règle :

Pour connaître le signe d'un produit, il suffit de chercher celui de chacun de ses facteurs, puis d'en déduire celui du produit grâce à la règle des signes.

Ici, on a

${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8\geqslant 0\Longleftrightarrow (x+2)^{3}\geqslant 0\,}$

d'après l'identité remarquable ${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}$.

Résoudre cette inéquation revient à chercher le signe de ${\displaystyle (x+2)^{3}\,}$, c'est-à-dire celui de ${\displaystyle x+2\,}$.

On a alors le tableau de signes suivant :

valeurs de ${\displaystyle x\,}$	${\displaystyle -\infty \,}$ ${\displaystyle -2\,}$ ${\displaystyle +\infty \,}$
signe de ${\displaystyle x+2\,}$	${\displaystyle -\,}$ ${\displaystyle 0\,}$ ${\displaystyle +\,}$
signe de ${\displaystyle (x+2)^{3}\,}$	${\displaystyle -\,}$ ${\displaystyle 0\,}$ ${\displaystyle +\,}$

On en conclut que l'ensemble des solutions de cette inéquation est: ${\displaystyle [-2;+\infty [\,}$.

Exemple 3: Soit l'inéquation ${\displaystyle {\frac {1-2x}{x-3}}\geqslant 0}$.

La règle vue plus haut pour un produit est valable aussi pour un quotient, à condition d'avoir vérifié pour quelle(s) valeur(s) ce quotient n'existe pas. Ici, il ne faut pas que ${\displaystyle x-3=0\,}$ donc il ne faut pas que ${\displaystyle x=3\,}$.

Alors on fait le tableau de signes suivant:

valeurs de ${\displaystyle x\,}$	${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,}$ ${\displaystyle 3\,}$ ${\displaystyle +\infty }$
signe de ${\displaystyle 1-2x\,}$	${\displaystyle +}$ 0 ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle -}$
signe de ${\displaystyle x-3\,}$	${\displaystyle -}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle -}$ 0 ${\displaystyle +}$
signe de ${\displaystyle {\frac {1-2x}{x-3}}\,}$	${\displaystyle -}$ 0 ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle ||}$ ${\displaystyle -}$

L'ensemble des solutions est donc :${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}};3\right[}$. on peut rajouter que pour trouver la troisième ligne du tableau il suffit de multiplier les signes de la même colonne.

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