Théorème de Taylor

De manière plus précise, soit :

• ${\displaystyle I}$ un intervalle réel ;
• ${\displaystyle a}$ un élément de ${\displaystyle I}$ ;
• ${\displaystyle E}$ un espace vectoriel normé réel ;
• ${\displaystyle f}$ une fonction de ${\displaystyle I}$ dans ${\displaystyle E}$ dérivable en ${\displaystyle a}$ jusqu'à un certain ordre ${\displaystyle n\geq 1}$.

Alors pour tout nombre réel ${\displaystyle x}$ appartenant à ${\displaystyle I}$, on a la formule de Taylor-Young (voir infra) :

${\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\,(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}\,(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}+R_{n}(x)}$

ou de façon équivalente :

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\,(x-a)^{k}+R_{n}(x)}$

où le reste ${\displaystyle R_{n}(x)}$ est une fonction négligeable par rapport à ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ au voisinage de ${\displaystyle a}$.

Par simple changement de variable de ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle a+h}$, la formule de Taylor-Young peut aussi s'exprimer sous la forme :

${\displaystyle f(a+h)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}\,h+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}\,h^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,h^{n}+R_{n}(h)}$

ou de façon équivalente :

${\displaystyle f(a+h)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\,h^{k}+R_{n}(h)}$

où le reste ${\displaystyle R_{n}(h)}$ est une fonction négligeable par rapport à ${\displaystyle h^{n}}$ au voisinage de 0, forme souvent employée en se situant dans un voisinage de ${\displaystyle a}$ (c'est-à-dire pour ${\displaystyle h}$ petit).

Cette formule porte le nom de William Henry Young.

Si la fonction ${\displaystyle f}$ (à valeurs réelles ou complexes, ou même dans un espace normé) est dérivable en ${\displaystyle a}$ jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n\geq 1}$ , alors la fonction ${\displaystyle R_{n}(x)}$ est négligeable devant ${\displaystyle (x-a)^{n}}$ :

${\displaystyle {R_{n}(x)}=o({(x-a)^{n}}).}$

La formulation suivante est équivalente :

${\displaystyle \lim _{x\to a \atop x\neq a}{\frac {R_{n}(x)}{(x-a)^{n}}}=0.}$

L'énoncé se démontre par récurrence simple, à l'aide d'une « intégration » terme à terme d'un développement limité[7], ou encore par application itérée de la règle de l'Hôpital[8].

Cette formule porte le nom de Joseph Louis Lagrange.

Si la fonction ${\displaystyle f}$ est à valeurs réelles et est dérivable sur ${\displaystyle I}$ jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n+1}$, alors, pour tout ${\displaystyle x\in I\setminus \{a\}}$, il existe un nombre réel ${\displaystyle \xi }$ strictement compris entre ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle x}$ tel que

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}\,(x-a)^{n+1}.}$

Cette relation s'appelle également la forme de Lagrange. L'existence de ${\displaystyle \xi }$ se déduit directement[7] du théorème de Rolle (ou de sa variante, le théorème des accroissements finis[9]).

Le nombre ${\displaystyle \xi }$ est parfois noté ${\displaystyle a+(x-a)\theta }$, et la condition qu'il soit compris entre ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle x}$ s'écrit alors ${\displaystyle 0<\theta <1}$.

S'il existe ${\displaystyle M}$ tel que

${\displaystyle \forall y\in I\quad |f^{(n+1)}(y)|\leq M,}$

alors, pour tout ${\displaystyle x\in I}$ :

${\displaystyle |R_{n}(x)|\leq {\frac {M|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}}.}$

Cette formule porte le nom d'Augustin Louis Cauchy.

C'est une variante de la formule de Taylor-Lagrange[9]^,[10]. Si la fonction ${\displaystyle f}$ est à valeurs réelles et qu'elle est dérivable sur ${\displaystyle I}$ jusqu'à l'ordre ${\displaystyle n+1}$ alors, pour tout ${\displaystyle x\in I\setminus \{a\}}$, il existe un nombre ${\displaystyle \xi }$ strictement compris entre ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle x}$ tel que

${\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}\,(x-a)\,(x-\xi )^{n}.}$

Du nom de Pierre-Simon de Laplace.

Si la fonction ${\displaystyle f}$ est de classe C^{n + 1} sur ${\displaystyle I}$ et à valeurs dans un espace de Banach réel, alors, pour tout ${\displaystyle x\in I}$ :

${\displaystyle R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}\,(x-t)^{n}\,\mathrm {d} t.}$

Cet énoncé se démontre par récurrence, à l'aide d'une intégration par parties[7].

• Formule de Taylor-Maclaurin : lorsque ${\displaystyle a}$ = 0, la formule s’écrit

${\displaystyle f(x)=f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}\,x+{\frac {f^{(2)}(0)}{2!}}\,x^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}+R_{n}(x).}$

• Contrairement à la formule de Taylor-Lagrange, les théorèmes de Taylor-Young et de Taylor-Laplace sont vrais pour des fonctions ${\displaystyle f}$ à valeurs complexes ou dans un espace vectoriel normé, complet pour pouvoir parler d'intégrale (de Bochner) pour le second.
• Pour une fonction à valeurs réelles, l'inégalité de Taylor-Lagrange est un corollaire immédiat de la formule de Taylor-Lagrange. Pour une fonction à valeurs dans un espace vectoriel normé, on ne dispose pas de cette formule mais on peut déduire l'inégalité de Taylor-Lagrange de l'inégalité des accroissements finis pour les fonctions à valeurs vectorielles.
• La formule de Taylor-Lagrange pour ${\displaystyle n=0}$ est le théorème des accroissements finis.
• La formule de Taylor avec reste de Laplace est une généralisation du second théorème fondamental de l'analyse.
• Pour certaines fonctions ${\displaystyle f}$, le reste ${\displaystyle R_{n}(x)}$ tend vers zéro lorsque ${\displaystyle n}$ tend vers l'infini ; ces fonctions peuvent ainsi être développées en série de Taylor dans un voisinage du point ${\displaystyle a}$. Si cette propriété se vérifie en tout point du domaine de définition, la fonction est dite analytique.