Tenseur de densité du flux d'impulsion

Le tenseur de densité du flux d'impulsion est donné par:

${\displaystyle \Pi _{ik}=p\delta _{ik}+\rho v_{i}v_{k}}$

Considérons un fluide ayant la vitesse ${\displaystyle {\vec {v}}}$: l'impulsion de l'unité de volume du fluide est égale à ${\displaystyle \rho {\vec {v}}}$ avec ${\displaystyle \rho }$ la masse volumique du fluide. Le taux de sa variation est donc:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho {\vec {v}}}{\partial t}}}$

En notations tensorielles, nous avons alors: ${\displaystyle {\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=\rho {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+v_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$

Utilisons l'équation de continuité: ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial \rho v_{k}}{\partial x_{k}}}}$ ; et l'équation d'Euler: ${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}=-v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}$

Grâce à ces deux équations, nous déduisons:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=-\rho v_{k}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}-v_{i}{\frac {\partial \rho v_{k}}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial \rho v_{i}v_{k}}{\partial x_{k}}}}$

Nous pouvons très bien écrire que: ${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}=\delta _{ik}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}}$

d'où, ${\displaystyle {\frac {\partial \rho v_{i}}{\partial t}}=-{\frac {\partial (\delta _{ik}p+\rho v_{i}v_{k})}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial \Pi _{ik}}{\partial x_{k}}}}$

Afin de mettre en évidence la signification du tenseur ${\displaystyle \Pi _{ik}}$, intégrons l'équation précédente dans un certain volume:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \rho v_{i}dV=-\int {\frac {\partial \Pi _{ik}}{\partial x_{k}}}dV}$

D'après le théorème d'Ostrogradsky-Gauss, nous pouvons écrire:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \rho v_{i}dV=-\oint \Pi _{ik}dS_{k}}$

Dans le premier membre nous avons la variation par unité de temps de la i-ème composante de l'impulsion dans le volume considéré. Ce qui signifie que le second membre représente la quantité de cette impulsion s'écoulant par unité de temps à travers la surface délimitant le volume considéré.

En écrivant ${\displaystyle dS_{k}=n_{k}dS}$, nous pouvons dire que: ${\displaystyle \Pi _{ik}n_{k}=pn_{i}+\rho v_{i}v_{k}}$ ce qui correspond à l'expression vectorielle ${\displaystyle p{\vec {n}}+\rho {\vec {v}}({\vec {v}}\cdot {\vec {n}})}$. Nous concluons que ${\displaystyle \Pi _{ik}}$ est la i-ème composante de la quantité d'impulsion traversant par unité de temps l'unité de surface normale à l'axe ${\displaystyle x_{k}}$.

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