Test de Kolmogorov-Smirnov

Ce test repose sur les propriétés des fonctions de répartition empiriques. Soit ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ n variables iid définies sur un espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$, à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, avec pour fonction de répartition F. La fonction de répartition empirique ${\displaystyle F_{n}}$ de l'échantillon ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ est définie par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall \omega \in \Omega ,F_{n}(x,\omega )={\frac {\mathrm {nombre~d'{\acute {e}}l{\acute {e}}ments} \,\leq x\,\mathrm {dans~l'{\acute {e}}chantillon} }{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}(\omega )\leq x}}$

où ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ est la fonction indicatrice de l'événement A.

Notons ${\displaystyle F_{n}(x,.)}$ la variable aléatoire ${\displaystyle \omega \mapsto F_{n}(x,\omega )}$. On a la convergence suivante :

${\displaystyle \mathbb {P} \left[\sup _{x}|F_{n}(x,.)-F(x)|>{\frac {c}{\sqrt {n}}}\right]{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\alpha (c)=2\sum _{r=1}^{+\infty }(-1)^{r-1}\exp(-2c^{2}r^{2})}$

pour toute constante c > 0. Le terme α(c) vaut 0,05 pour c = 1,36.

Remarquons que la limite à droite ne dépend pas de F. Cela découle du fait que ${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x,.)-F(x))}$ converge en loi vers un pont brownien changé de temps par l'inverse F⁻¹ de F. La série α(c) se déduit des propriétés de ce dernier processus.

Il est ainsi facile de proposer un test d'hypothèse pour décider si un échantillon provient bien d'une loi donnée, ou si deux échantillons ont la même loi, lorsque leurs fonctions de répartitions sont continues.

On peut aussi considérer ${\displaystyle \max _{x}(F_{n}(x,.)-F(x))}$ et ${\displaystyle \max _{x}(F(x,.)-F_{n}(x))}$.

Le test de Kolmogorov-Smirnov est par exemple utilisé pour tester la qualité d'un générateur de nombres aléatoires[1].

• ks.test avec R.
• scipy.stats.kstest avec Python pour déterminer si un échantillon suit une loi donnée
• scipy.stats.ks_2samp avec Python pour déterminer si deux échantillons suivent la même loi de distributions
• ksmirnov avec Stata

• Andreï Kolmogorov
• Nikolaï Vassilievitch Smirnov
• Test de normalité
• Test de Jarque-Bera
• Test de Kuiper
• Test de Shapiro-Wilk
• Test d'Anderson-Darling
• Test de Cramer-Von Mises

• (en) Galen R. Shorack et Jon A. Wellner, Empirical Processes With Applications to Statistics, Philadelphie, Society for Industrial & Applied Mathematics, 4 septembre 2009, 998 p. (ISBN 978-0-89871-684-9 et 0-89871-684-5, LCCN 2009025143, lire en ligne).

• (en) David Williams, Weighing the Odds: a Course in Probability and Statistics, Cambridge University Press, 2001, 548 p. (ISBN 0-521-80356-X).

• (en) « Calculation of the Smirnov-Kolmogorov table »
• Exemple de table : http://dlc.erieri.com/onlinetextbook/index.cfm?fuseaction=textbook.appendix&FileName=Table7

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