Test de Kruskal-Wallis

Le modèle s'écrit ${\displaystyle X_{i,j}=\theta +\tau _{j}+\epsilon _{i,j}}$ où ${\displaystyle i=1,\dots ,n_{j},j=i,\dots ,k}$.

${\displaystyle \theta }$ est la médiane globale et ${\displaystyle \tau _{j}}$ le "treatment j effect" .

Et on écrit le test ${\displaystyle H_{0}:[\tau _{1}=\dots =\tau _{j}]}$contre ${\displaystyle H_{1}:}$ au moins deux ${\displaystyle \tau _{j}}$ne sont pas égales.

1. Classer toutes les données de tous les groupes ensemble, c'est-à-dire classer les données de 1 à N sans faire de groupes. Attribuer à toute valeur liée la moyenne des classements qu'ils auraient obtenus s'ils n'avaient pas été liés.
2. La statistique de test est donnée par :

   ${\displaystyle H=(N-1){\frac {\sum _{i=1}^{g}n_{i}({\bar {r}}_{i\cdot }-{\bar {r}})^{2}}{\sum _{i=1}^{g}\sum _{j=1}^{n_{i}}(r_{ij}-{\bar {r}})^{2}}},}$, où:

   • ${\displaystyle n_{i}}$ est le nombre d'observations dans le groupe ${\displaystyle i}$
   • ${\displaystyle r_{ij}}$ est le rang (parmi toutes les observations) de l'observation ${\displaystyle j}$ du groupe ${\displaystyle i}$
   • ${\displaystyle N}$ est le nombre total d'observations sur l'ensemble des groupes
   • ${\displaystyle {\bar {r}}_{i\cdot }={\frac {\sum _{j=1}^{n_{i}}{r_{ij}}}{n_{i}}}}$ est le rang moyen de toutes les observations du groupe ${\displaystyle i}$
   • ${\displaystyle {\bar {r}}={\tfrac {1}{2}}(N+1)}$ est la moyenne de tous les ${\displaystyle r_{ij}}$.
3. Si les données ne contiennent pas de lien, le dénominateur de l'expression pour ${\displaystyle H}$ est exactement ${\displaystyle (N-1)N(N+1)/12}$ et ${\displaystyle {\bar {r}}={\tfrac {N+1}{2}}}$. Ainsi :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}\left({\bar {r}}_{i\cdot }-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}\\&={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{g}n_{i}{\bar {r}}_{i\cdot }^{2}-\ 3(N+1)\end{aligned}}}$
   La dernière formule contient seulement les carrés des rangs moyens.

4. Une correction pour les liens si on utilise la formule raccourcie décrite au point précédent peut être faite en divisant ${\displaystyle H}$ par ${\displaystyle 1-{\frac {\sum _{i=1}^{G}(t_{i}^{3}-t_{i})}{N^{3}-N}}}$, où ${\displaystyle G}$ est le nombre de groupements de différents rangs liés, et ${\displaystyle t_{i}}$ est le nombre de valeurs liées au sein du groupe i qui sont liées à une valeur particulière. Cette correction fait en général peu de différence dans la valeur obtenue de H à moins qu'il y ait un grand nombre de liens.
5. Finalement, la décision de rejeter ou non l'hypothèse nulle est faite en comparant ${\displaystyle H}$ à une valeur critique ${\displaystyle H_{c}}$ obtenue à partir d'un tableau ou d'un logiciel pour un niveau de significativité ou alpha donnés. Si ${\displaystyle H}$ est supérieur à ${\displaystyle H_{c}}$, l'hypothèse nulle est rejetée. Si cela est possible (pas de liens, échantillon pas trop large), on doit pouvoir comparer ${\displaystyle H}$ à la valeur critique obtenue à partir de la distribution exacte de ${\displaystyle H}$. Autrement, la distribution de ${\displaystyle H}$ peut être approximée par une distribution chi-carré (χ²) avec ${\displaystyle g-1}$ degrés de liberté. Si certaines valeurs ni sont faibles (par exemple inférieures à 5), la distribution de probabilité exacte de ${\displaystyle H}$ peut être assez différente de cette distribution chi-carré. Si un tableau de la distribution de probabilité du χ² est disponible, la valeur critique du chi-carré peut être trouvée en entrant dans le tableau à ${\displaystyle g-1}$ degrés de liberté et en regardant sous le niveau de significativité ou alpha désiré.
6. Si la statistique n'est pas significative, alors il n'y a pas de preuve de dominance stochastique entre les échantillons. Cependant, si le test est significatif, alors au moins un échantillon domine stochastiquement un autre échantillon. Par conséquent, un chercheur peut utiliser des contrastes d'échantillons entre des paires d'échantillons individuels, ou des tests post hoc utilisant le test de Dunn, qui (1) utilise correctement les mêmes classements que le test de Kruskal-Wallis, et (2) utilise correctement la variance mise en commun impliquée par l'hypothèse nulle du test de Kruskal-Wallis afin de déterminer lesquelles des paires d'échantillons sont significativement différentes[5]. Lorsque l'on effectue des contrastes d'échantillons ou des tests multiples, le taux d'erreur de type I a tendance à gonfler, ce qui soulève des inquiétudes quant aux comparaisons multiples.

Une grande quantité de ressources informatiques est nécessaire pour calculer des probabilités exactes pour le test de Kruskal-Wallis. Les logiciels existants ne fournissent des probabilités exactes que pour des échantillons de moins de 30 participants environ. Ces logiciels reposent sur une approximation asymptotique pour les échantillons de plus grande taille.

Les valeurs exactes des probabilités pour les échantillons de plus grande taille sont disponibles. En 2003, Spurrier a publié des tableaux de probabilités exactes pour des échantillons allant jusqu'à 45 participants[7]. Meyer et Seaman ont produit en 2006 des distributions de probabilités exactes pour des échantillons allant jusqu'à 105 participants[8].

Choi et al.[9] ont passé en revue deux méthodes qui avaient été développées pour calculer la distribution exacte de ${\displaystyle H}$, en ont proposé une nouvelle et ont comparé la distribution exacte à son approximation par le χ².

• kruskal.test sous R avec la librairie "stats"[10]
• scipy.stats.kruskal sous python avec la librairie "scipy.stats"[11]