Test de sphéricité de Bartlett

Partant d’un échantillon de n réalisations (indépendantes) d’un ensemble de p variables aléatoires réelles ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{p}\,}$, le test concerne la validité de

• ${\displaystyle H_{0}}$ (hypothèse nulle) : les variables sont globalement indépendantes.
• ${\displaystyle H_{1}}$ : les variables sont globalement dépendantes.

En se basant sur une estimation R de la matrice de corrélation, le test[1] évalue

${\displaystyle \chi ^{2}=-\left(n-1-{\frac {2p+5}{6}}\right)\log(|\det R|)}$

qui, sous ${\displaystyle H_{0}}$, suit « approximativement » une loi du χ² disposant de ${\displaystyle {\frac {p(p-1)}{2}}}$ degrés de liberté.

• Si les variables sont indépendantes, la matrice de corrélation est égale à la matrice identité, son estimation R devrait s’en approcher, son déterminant avoisine 1 et ${\displaystyle \ln(|\det(R)|)\simeq 0}$. Dans le cas contraire, R devient singulière, le déterminant s’approche de zéro et le ${\displaystyle ln()}$ prend des valeurs négatives.