Théorème d'Erdős-Fuchs

Le théorème d'Erdős-Fuchs, en théorie combinatoire des nombres, a pour objet le nombre de façons de représenter un entier naturel n comme somme de deux éléments d'un ensemble donné. Il établit que la moyenne de Cesàro de cette fonction de n ne peut pas tendre « très vite » vers une constante non nulle.

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Énoncé

Pour un ensemble fixé A d'entiers naturels, on associe à tout entier n le nombre r(n) de couples d'éléments de A dont n est la somme, et on note

Si

alors[1]

Motivation

Si A est l'ensemble des carrés parfaits, r(0) + … + r(n) est le nombre de points à coordonnées entières du quart de disque x, y ≥ 0, x2 + y2 ≤ n donc R(n) → π/4 avec une différence en O(n–2/3) et même, « par des arguments très profonds »[2], en o(n–2/3). Il est conjecturé[2] que c'est en fait un O(n–3/4 + ε) pour tout ε > 0 mais on sait démontrer, « par des arguments encore plus difficiles »[2] que ce n'est pas un O(n–3/4 – ε). Le théorème d'Erdős-Fuchs fut donc une surprise, par la généralité de son énoncé et le caractère élémentaire de ses arguments[2].

Notes et références
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Erdős–Fuchs theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) P. Erdős et W. H. J. Fuchs, « On a Problem of Additive Number Theory », J. London Math. Soc., vol. 31, no 1,‎ , p. 67-73 (lire en ligne)
  2. (en) Donald J. Newman (en), Analytic number theory, New York, Springer, coll. « GTM » (no 177), , 78 p. (ISBN 0-387-98308-2, lire en ligne), p. 32

Liens externes
  • Arithmétique et théorie des nombres
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