Théorème d'Iwaniec-Richert

Le théorème d'Iwaniec-Richert (en) peut s'énoncer ainsi :

Il existe une infinité d'entiers n tel que n² + 1 soit premier ou semi-premier.

Ce résultat a été obtenu par Iwaniec en 1978. Il fait suite à un article de B. V. Levin de 1960, dans lequel ce dernier montre qu'il existe a > 0 tel que la suite ${\displaystyle (n^{2}+1)_{n=1,...,N}}$ contienne au moins

${\displaystyle {\frac {aN}{\ln N}}+O\left({\frac {N\ln \ln N}{(\ln N)^{3/2}}}\right)}$

éléments ayant au plus cinq facteurs premiers.

En 1974, Halberstam et Richert, dans leur ouvrage Sieve methods, avaient obtenu le résultat effectif suivant. Soit a un entier qui n'est pas l'opposé d'un carré parfait, et soient 1 < y ≤ x des nombres réels. Alors, le nombre d'entiers n vérifiant x – y < n ≤ x² et tels que n² + a soit premier est majoré par :

${\displaystyle 2\prod _{p>2,\,p\mid a}\left(1-{\frac {(-a/p)}{p-1}}\right){\frac {y}{\ln y}}\times \left\{1+O_{a}\left({\frac {\ln \ln 3y}{\ln y}}\right)\right\},}$

où (–a/p) désigne le symbole de Legendre-Jacobi-Kronecker.