Interpolation newtonienne

Étant donnés ${\displaystyle k+1}$ points

${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$ (les x_j tous distincts 2 à 2), l'interpolation polynomiale dans une base de Newton est une combinaison linéaire de polynômes appartenant à cette base

${\displaystyle N(x)=\sum _{j=0}^{k}a_{j}n_{j}(x)}$

avec les polynômes de Newton définis de la manière suivante

${\displaystyle n_{j}(x)=\prod _{0\leq i<j}(x-x_{i})\qquad j=0,\ldots ,k}$

(en particulier ${\displaystyle n_{0}=1}$, le produit vide)

et les coefficients égaux aux différences divisées :

${\displaystyle a_{j}=[y_{0},\ldots ,y_{j}].}$

En résumé :

Le polynôme d'interpolation de Newton ${\displaystyle N(x)}$ associé à ${\displaystyle k+1}$ points ${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$ est défini par :

${\displaystyle N(x)=[y_{0}]+[y_{0},y_{1}](x-x_{0})+\ldots +[y_{0},\ldots ,y_{k}](x-x_{0})\ldots (x-x_{k-1}).}$

Le théorème suivant justifie le nom de « polynôme d'interpolation » pour ${\displaystyle N}$ :

Ce polynôme ${\displaystyle N}$ est égal au polynôme d'interpolation de Lagrange associé aux ${\displaystyle k+1}$ points, c'est-à-dire à l'unique polynôme ${\displaystyle L}$ de degré inférieur ou égal à ${\displaystyle k}$ vérifiant : ${\displaystyle \forall i\in \{0,\dots ,k\}\quad L(x_{i})=y_{i}.}$

Le polynôme d'interpolation de Lagrange ${\displaystyle L}$ appartient à l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à ${\displaystyle k}$, dont la « base de Newton » ${\displaystyle n:=(n_{0},\dots ,n_{k})}$ définie ci-dessus est une base. D'après le théorème d'interpolation de Newton, les coordonnées de ${\displaystyle L}$ dans ${\displaystyle n}$ sont ${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{k})}$, où les ${\displaystyle a_{i}}$ sont les différences divisées. Une méthode naïve de calcul direct des coordonnées de ${\displaystyle L}$ dans ${\displaystyle n}$ serait de résoudre le système d'équations linéaires

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}a_{j}n_{j}(x_{i})=y_{i}\qquad i=0,\dots ,k}$,

qui se réécrit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&&&&0\\1&x_{1}-x_{0}&&&\\1&x_{2}-x_{0}&(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})&&\\\vdots &\vdots &&\ddots &\\1&x_{k}-x_{0}&\ldots &\ldots &\prod _{j=0}^{k-1}(x_{k}-x_{j})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{0}\\\vdots \\a_{k}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{0}\\\vdots \\y_{k}\end{pmatrix}}.}$

Puisque ce système est échelonné et même triangulaire inférieur, on pourrait le résoudre de proche en proche en commençant par la ligne ${\displaystyle i=0}$ qui nous donnerait ${\displaystyle a_{0}}$ puis pour ${\displaystyle i=1}$, le calcul de ${\displaystyle a_{0}}$ nous permettrait de déduire ${\displaystyle a_{1}}$, et ainsi de suite jusqu'à ${\displaystyle i=k}$.

Comme le montre la définition des différences divisées, des points supplémentaires peuvent être ajoutés pour créer un nouveau polynôme d'interpolation sans recalculer les coefficients. De plus, si un point est modifié, il est inutile de recalculer l'ensemble des coefficients. Autre avantage, si les x_i sont équirépartis, le calcul des différences divisées devient nettement plus rapide. Par conséquent, la forme de Newton pour le polynôme d'interpolation est privilégiée par rapport à celle de Lagrange ou même par rapport à la méthode naïve ci-dessus, pour des raisons pratiques.

Le théorème d'interpolation de Newton permet de démontrer que toute fonction polynomiale est égale à sa série de Newton.