Théorème de Feuerbach

En mathématiques, le théorème de Feuerbach, du nom du mathématicien Karl Feuerbach, affirme que dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits. Les points de contact sont appelés points de Feuerbach du triangle.

Triangle de Feuerbach.

Points de Feuerbach

Les trois points de tangence $F_{A}^{e},F_{B}^{e},F_{C}^{e}$ des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle ABC.

Alignement du point de Feuerbach inscrit avec les centres des cercles.

Le point de Feuerbach F_e, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ) ; I et J centres des cercles inscrit et d'Euler.

Soit S le point de concours des droites $AF_{A}^{e},BF_{B}^{e},CF_{C}^{e}$ . Alors les points S, I , le centre du cercle d'Euler et le point de Feuerbach F_e sont alignés et en division harmonique .

Le point S, les centres I et J et le point de Feuerbach F_e sont alignés.

Le point de Feuerbach F_e appartient aussi au cercle circonscrit du triangle cévien du centre I du cercle inscrit.

Le cercle, circonscrit au triangle formé par les pieds des bissectrices, passe par le point de Feuerbach.

Six autres droites concourantes au point de Feuerbach

Trois droites symétriques des côtés du triangle de contact

Soit O le centre du cercle circonscrit et i_A, i_B, i_C les points de contact du triangle ABC avec son cercle inscrit.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact i_Ai_Bi_C, passent par le point de Feuerbach.

Trois droites symétriques des côtés du triangle de Feuerbach

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de Feuerbach $F_{A}^{e}F_{B}^{e}F_{C}^{e}$ , passent par le point de Feuerbach.

Théorème de Feuerbach-Ayme dans un triangle rectangle

Le cercle de diamètre [O_BO_C] passe par le point de Feuerbach.

Soit ABC un triangle rectangle en A, H le pied de la hauteur de ABC sur (BC), O_B et O_C les centres des cercles inscrits dans les triangles AHB et AHC, et F₀ le point de Feuerbach inscrit du triangle ABC ; alors les droites (C’O_B) et (B’O_C) sont orthogonales et se coupent au point de Feuerbach. Le cercle de diamètre [O_BO_C] passe par F₀.

Remarque : outre le point de Feuerbach, le cercle de diamètre [O_BO_C] contient le pied H de la hauteur issue de A, le point de contact du cercle inscrit dans ABC avec le côté (BC) et les points d'intersection des bissectrices des angles aigus B et C avec la droite des centres (B’C’). Ces deux derniers points sont aussi situés sur les bissectrices en A des triangles AHB et AHC.

Liens externes

Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)

Portail de la géométrie

Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.