Théorème de Fisher-Tippett-Gnedenko

En statistiques, le théorème de Fisher–Tippett–Gnedenko (aussi connu sous le nom de théorème de Fisher–Tippett ou théorème de la valeur extrême) est un résultat général en théorie des valeurs extrêmes relatif à la distribution asymptotique des statistiques d'ordre extrêmes. Le maximum d'un échantillon de variables aléatoires iid après renormalisation ne peut converger en loi que vers 3 types de loi : la loi de Gumbel, la loi de Fréchet, ou la loi de Weibull. On attribue ce résultat à Boris Vladimirovitch Gnedenko (1948), bien que de précédentes versions aient été énoncées par Ronald Aylmer Fisher et Leonard Henry Caleb Tippett et 1928, et par René Maurice Fréchet en 1927.

Le rôle du théorème des valeurs extrêmes pour le maximum est similaire à celui du théorème central limite pour les moyennes, à ceci près que le théorème central limite s'applique sur la moyenne d'un échantillon de n'importe quelle loi ayant une variance finie, alors que le théorème de Fisher-Tippet-Gnedenko énonce que si la loi d'un maximum normalisé converge, alors sa limite ne peut être qu'un certain type de loi. En outre, ce théorème n'énonce pas que la loi d'un maximum normalisé converge.

Énoncé

Soit $X_{1},X_{2}\ldots ,X_{n}\ldots$ une séquence de variables indépendantes et identiquement distribuées et $M_{n}=\max\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}$ . Si une séquence de paires de nombres réels $(a_{n},b_{n})$ existe telle que $a_{n}>0$ et $\lim _{n\to \infty }P\left({\frac {M_{n}-b_{n}}{a_{n}}}\leq x\right)=F(x)$ , où $F$ est une fonction de distribution non dégénérée, alors la distribution limite $F$ appartient à la famille des lois de Gumbel, des lois de Fréchet, ou des lois de Weibull. Ces familles peuvent être regroupées dans la classe des lois d'extrêmum généralisées.

Voir aussi

Théorie des valeurs extrêmes
Loi de Gumbel, Loi de Fréchet, Loi de Weibull
Loi d'extremum généralisée
Théorème de Pickands–Balkema–de Haan

Portail des probabilités et de la statistique

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