Théorème de Floquet

Les propriétés du propagateur associé au système de Floquet sont classiquement obtenues en considérant la matrice ${\displaystyle \displaystyle X(t)}$ des solutions fondamentales du système dont les colonnes forment une base de toutes les solutions au système.

On définit le propagateur du système par ${\displaystyle \Phi (t,0)=X(t)X^{-1}(0),~}$ qui définit à son tour une base de solutions fondamentales.

On a alors ${\displaystyle \partial _{t}\Phi (t+T,0)=A(t)\,\Phi (t+T,0),}$ qui prouve que ${\displaystyle \displaystyle \Phi (t+T,0)}$ est également solution, et peut donc s'exprimer dans la base ${\displaystyle \displaystyle \Phi (t,0)}$.

On a donc

${\displaystyle \Phi (t+T,0)=\Phi (t,0)\,\Phi (T,0),}$

où ${\displaystyle \Phi (T,0)}$ est une matrice constante.

On diagonalise le propagateur en t=T, ce qui permet de déterminer les valeurs propres de ${\displaystyle \displaystyle \Phi (T,0)}$ que l'on écrit sous la forme ${\displaystyle \sigma _{i}=e^{\Lambda _{i}T}}$. Ceci permet de définir les matrices ${\displaystyle \displaystyle e^{\Lambda T}}$ et ${\displaystyle \displaystyle Z}$ telles que

${\displaystyle \Phi (T,0)=Z\,e^{\Lambda T}Z^{-1}=Z\Sigma Z^{-1}}$

On définit alors la matrice ${\displaystyle Y(t)=\Phi (t,0)\,Z}$ telle que ${\displaystyle \displaystyle Y(0)=Z}$

La relation de Y(t) avec sa réplique à t+T est alors

${\displaystyle {\begin{aligned}Y(t+T)=\Phi (t+T,0)\,Z=\Phi (t+T,T)\,\Phi (T,0)\,Z\\=\Phi (t,0)\,Z\,e^{\Lambda T}=Y(t)\,e^{\Lambda T}\end{aligned}}}$

On construit à partir des vecteurs colonne de Y d'autres vecteurs non amortis, ce sont les vecteurs de Floquet. On obtient une matrice ${\displaystyle \displaystyle \Psi ^{F}}$ que l'on définit en "dés-amortissant" ${\displaystyle \displaystyle Y}$ et dont les vecteurs colonne sont les vecteurs de Floquet.

${\displaystyle \displaystyle \Psi ^{F}(t)=Y(t)e^{-\Lambda t}}$

${\displaystyle \displaystyle \Psi ^{F}(0)=Z}$

on obtient bien un vecteur périodique, car :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi ^{F}(t+T)=Y(t+T)\,e^{-\Lambda T}e^{-\Lambda t}\\=Y(t)e^{-\Lambda t}=\Psi ^{F}(t)\end{aligned}}}$

On a alors pour le propagateur :

${\displaystyle \Phi (t,0)=Y(t)Z^{-1}=\Phi (t,0)=\Psi ^{F}(t)e^{\Lambda t}Z^{-1}~}$

${\displaystyle \displaystyle Y}$ s'intègre comme le propagateur, car

${\displaystyle \partial _{t}Y=A(t)\,\Phi (t)\,Z=A(t)\,Y(t)}$

ce qui donne

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\Psi ^{F}=A(t)Y\,e^{-\Lambda t}-Y(t)\Lambda e^{-\Lambda t}\\=A\Psi ^{F}(t)-\Psi ^{F}e^{\Lambda t}\Lambda e^{-\Lambda t}\\=A(t)\Psi ^{F}(t)-\Psi ^{F}(t)\Lambda \quad \end{aligned}}}$

du fait de la diagonalité des trois matrices de droite.

Les vecteurs de Floquet étant périodiques, ils sont donc bornés. On peut donc caractériser la stabilité des systèmes de Floquet en calculant ${\displaystyle \Lambda ={\frac {1}{T}}\log \Sigma }$.

Les valeurs propres ${\displaystyle \displaystyle \sigma _{i}}$ sont appelées les multiplicateurs de Floquet et sont uniques. Les ${\displaystyle \displaystyle \lambda _{i}}$ sont les exposants de Floquet et ne sont pas uniques dans la décomposition de Floquet puisque si

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{i}&=&\rho _{i}e^{-i\theta _{i}}\\\lambda _{i}&=&{\frac {\ln(\rho _{i})}{T}}+i{\frac {\theta _{i}+2k\pi }{T}}\end{aligned}}}$

avec ${\displaystyle k}$ un entier quelconque. De plus ${\displaystyle \displaystyle \Psi ^{F}}$ et ${\displaystyle \displaystyle \Lambda }$ sont en toute généralité imaginaires. La croissance de chaque vecteur de Floquet au cours du temps est déterminée par la partie réelle de l'exposant de Floquet correspondant, et la fréquence par la partie imaginaire.

Prenons un système périodique régi par l'équation :

${\displaystyle \displaystyle \partial _{t}\eta =g(\eta )}$

Le système est périodique, on a donc par définition ${\displaystyle \displaystyle \eta (t+T)=\eta (t)}$.

Une perturbation sur la trajectoire de référence est régie par ${\displaystyle \partial _{t}\delta \eta =\partial _{\eta }g\,\delta \eta }$.

Avec ${\displaystyle \displaystyle \delta \eta (t)=\Phi (t,\tau )\delta \eta (\tau )}$ où ${\displaystyle \displaystyle \Phi (t,\tau )}$ est le propagateur de la trajectoire perturbée.

En posant ${\displaystyle A=\partial _{\eta }g(\eta )}$ on a ${\displaystyle \partial _{t}\Phi (t,\tau )=A(t)\Phi (t,\tau )}$ où ${\displaystyle \displaystyle A}$ est elle-même périodique ${\displaystyle (\forall t,A(t+T)=A(t))}$.

On considère alors le système de Floquet de période T. La "vitesse" du système est par définition ${\displaystyle V(t)=\partial _{t}\eta }$ et la périodicité du système entraine ${\displaystyle \displaystyle V(t+T)=V(t)}$.

Comme par ailleurs

${\displaystyle \partial _{t}V=\partial _{t}g(\eta )=\partial _{\eta }g(\eta )\,\partial _{t}\eta =A(t)V(t)}$

on a que ${\displaystyle \displaystyle V}$ se propage de la même façon que ${\displaystyle \displaystyle \delta \eta }$. On peut déduire de cette particularité une propriété de la décomposition de Floquet du système linéaire tangent des systèmes périodiques, celle d'avoir un multiplieur de Floquet égal à 1. En effet, on a que ${\displaystyle \displaystyle V(t)=\Phi (t,0)V(0)}$ est périodique de période T.

Or

${\displaystyle \displaystyle V(T)=\Phi (T,0)V(0)=V(0)}$

et donc ${\displaystyle \displaystyle V(0)}$ est vecteur propre de ${\displaystyle \displaystyle \Phi (T,0)}$ avec la valeur propre 1. Cette propriété permet de vérifier qu'un système de Floquet est un système périodique de par l'existence d'un multiplieur de Floquet égal à 1.

Dans le cadre du cristal parfait infini, les électrons sont soumis à un potentiel périodique ayant la symétrie de translation des atomes constituant le cristal. Les ondes de Bloch (d'après Felix Bloch) sont des fonctions d'ondes décrivant des états quantiques électroniques ayant la même symétrie que le cristal.