Théorème de Friedlander-Iwaniec

En théorie des nombres, le théorème de Friedlander–Iwaniec affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $a^{2}+b^{4}$ .

John Friedlander

Henryk Iwaniec

Voici ces nombres, en dessous de 1000 : 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977 (suite A028916 de l'OEIS).

La difficulté du résultat réside dans le caractère clairsemé de cette suite : le nombre d'entiers de la forme $a^{2}+b^{4}$ plus petits que $n$ est de l'ordre de $n^{3/4}$ .

Historique

Ce théorème a été prouvé en 1997 par John Friedlander et Henryk Iwaniec[1]. Iwaniec a reçu en 2001 le prix Ostrowski en partie pour sa contribution à ce travail.[2]

Cas particuliers

Quand $b = 1$ , les nombres premiers de Friedlander–Iwaniec sont de la forme $a^{2}+1$ , et forment la suite

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, …, suite A002496 de l'OEIS.

On conjecture que cette suite est infinie (c'est l'un des problèmes de Landau), ce qui ne résulte pas du théorème de Friedlander–Iwaniec.

Nombres de Friedlander–Iwaniec anecdotiques

$2017=44^{2}+3^{4}$ est un nombre premier de Friedlander-Iwaniec, ce qui n'était pas arrivé depuis $1777=39^{2}+4^{4}$ , année de naissance de Gauss. L'antéprécédent est $1657=19^{2}+6^{4}$ , année où Bernard Frénicle de Bessy publia la découverte du nombre taxicab Ta(2)=1729. Le précédent est alors $1601=40^{2}+1^{4}$ , année de naissance de Fermat.

Références

(en) John Friedlander et Henryk Iwaniec, « Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial », PNAS,‎ 1997, p. 1054–1058
"Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize"

Arithmétique et théorie des nombres

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[1] (en) John Friedlander et Henryk Iwaniec, « Using a parity-sensitive sieve to count prime values of a polynomial », PNAS,‎ 1997, p. 1054–1058

[ostrowski-2] "Iwaniec, Sarnak, and Taylor Receive Ostrowski Prize"