Théorème de Frobenius (algèbre)

On peut remplacer les hypothèses « à division » et « de dimension finie » de l'énoncé par les hypothèses plus faibles « sans diviseur de zéro »[4] et « algébrique »[5].

Soient donc D une ℝ-algèbre associative sans diviseur de zéro, algébrique sur ℝ mais non réduite à ℝ, x un élément non réel de D, et C = ℝ[x].

Alors, C est une extension algébrique stricte de ℝ, donc est isomorphe à ℂ. Notons i l'une des deux racines carrées de –1 dans C. L'automorphisme intérieur associé à i est une involution, donc diagonalisable en tant qu'endomorphisme d'espace vectoriel sur ℝ :

${\displaystyle D=D^{+}\oplus D^{-}}$

où D⁺ et D^– désignent respectivement les espaces propres associés à 1 et –1 :

${\displaystyle D^{+}=\{d\in D~|~di=id\}\quad {\text{et}}\quad D^{-}=\{d\in D~|~di=-id\}.}$

Le sous-espace D⁺ est une extension de C, algébrique donc réduite à C. Par conséquent, si le sous-espace D^– est nul alors D est isomorphe à ℂ.

Si D^– est non nul, soient y un élément non nul de D^– et (comme précédemment) j l'une des deux racines carrées de –1 dans l'algèbre ℝ[y] = ℝ + ℝy. Puisque y² appartient à la fois à cette algèbre et à D⁺, il est réel. On en déduit que j est un multiple réel de y, donc appartient à D^–. La bijection d↦dj échange D⁺ = C et D^–, si bien que

${\displaystyle D=C\oplus Cj=\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} i\oplus \mathbb {R} j\oplus \mathbb {R} k}$

avec k = ij = –ji, et D est alors isomorphe à ℍ.

Ce théorème possède l'interprétation moderne suivante[6]. Les ℝ-algèbres associatives à division de dimension finie sont les algèbres centrales à division sur les extensions finies de ℝ. Elles correspondent donc aux éléments des deux groupes de Brauer Br(ℝ) et Br(ℂ). L'unique élément du groupe trivial Br(ℂ) correspond à la ℂ-algèbre ℂ, et les deux éléments du groupe Br(ℝ) correspondent aux deux ℝ-algèbres ℝ et ℍ.