Théorème de de Gua

Soit OABC un tétraèdre trirectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$

Notons a, b, c les longueurs respectives des arêtes OA,OB,OC.

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6 = c/3${\displaystyle A_{\color {blue}ABO}}$ = b/3${\displaystyle A_{\color {green}ACO}}$ = a/3${\displaystyle A_{\color {red}BCO}}$ mais aussi à h/3${\displaystyle A_{ABC}}$ où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur ${\displaystyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}}$ est normal au plan ABC, cette hauteur vaut ${\displaystyle h={\langle {\overrightarrow {OA}}\mid {\overrightarrow {n}}\rangle \over \|{\overrightarrow {n}}\|}}$

On a donc, en égalant les volumes : ${\displaystyle {\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}}$. Soit en simplifiant ${\displaystyle 4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}}$ ; la formule demandée.

La formule s'étend aux dimensions supérieures[2], ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes[3] dès 1619-1623.

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