Théorème de Lagrange sur les polynômes

Il s'agit d'un résultat trouvé par le mathématicien Joseph-Louis Lagrange^{[réf. souhaitée]} concernant les polynômes. Soit P un polynôme tel que:

${\displaystyle P(x)=x^{n}+\sum _{i=0}^{n-1}{a_{i}x^{i}}}$

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Lagrange.

où les ${\displaystyle a_{i}}$ sont réels.

Si a est une racine de P, alors a vérifie

${\displaystyle |a|\leq 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|).}$

Ce théorème reste vrai si les ${\displaystyle a_{i}}$ et ${\displaystyle a}$ sont complexes et l'inégalité est même stricte. Mieux : par le théorème de Rouché, le polynôme P admet n racines (comptées avec leurs multiplicités) dans le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon ${\displaystyle 1+\max(|a_{0}|,\ldots ,|a_{n-1}|)}$, ce qui fournit une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss en plus de la majoration annoncée.