Théorème de Legendre

Le théorème de Legendre qui suit concerne les équations diophantiennes de la forme ${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$ où les coefficients ${\displaystyle a,b,c}$ satisfont les hypothèses suivantes :

1. ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b<0}$ et ${\displaystyle c<0}$,
2. ${\displaystyle a,b,c}$ sont sans facteur carré et premiers entre eux deux à deux.

Pour les articles homonymes, voir Legendre.

Le théorème de Legendre énonce alors que l'équation diophantienne ci-dessus a une solution (non triviale) si et seulement si :

• ${\displaystyle -ab}$ est résidu quadratique ${\displaystyle {\pmod {c}}}$,
• ${\displaystyle -bc}$ est résidu quadratique ${\displaystyle {\pmod {a}}}$ et
• ${\displaystyle -ca}$ est résidu quadratique ${\displaystyle {\pmod {b}}}$.