Théorème de Lucas

Pour des entiers m et n positifs ou nuls et un nombre premier p, on a la relation de congruence suivante :

${\displaystyle {\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},}$

où

${\displaystyle m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},}$

et

${\displaystyle n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}}$

sont les développements respectifs de m et n en base p.

Un coefficient binomial ${\displaystyle {\tbinom {m}{n}}}$ est divisible par un nombre premier p si et seulement si au moins un chiffre de n en base p est plus grand que le chiffre correspondant de m. Ce corollaire est un cas particulier d'un théorème de Kummer.

• Arithmétique et théorie des nombres