Théorème de Mahler

Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler[1].

En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :

${\displaystyle (x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)\,}$.

On note ${\displaystyle \Delta }$ l'opérateur de différence défini par

${\displaystyle (\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,}$.

Alors nous avons

${\displaystyle \Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}\,}$

c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur ${\displaystyle \Delta }$ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est ${\displaystyle x^{n}}$.

Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.

Si ${\displaystyle f}$ est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.